গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

   $x + 60 = 2(x + 5)$

   বা $x + 60 = 2x + 10$

   বা $x = 50$

   নির্ণেয় মান $x = 50$। (কেন্দ্রস্থ কোণ $110^\circ$, বৃত্তস্থ কোণ $55^\circ$।)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle MNP$ এ $R$ ও $S$ যথাক্রমে $MN$ ও $MP$ এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে, $RS = \frac{1}{2}NP$।

   অঙ্কন: $RS$ কে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $SD = RS$ হয়। $P, D$ যোগ করি।

   প্রমাণ:
   ১. $\triangle MRS$ ও $\triangle SPD$ এ $MS = SP$, $RS = SD$ এবং $\angle MSR = \angle PSD$ (বিপ্রতীপ কোণ)। তাই $\triangle MRS \cong \triangle SPD$। অতএব $MR = PD$ এবং $\angle MRS = \angle SDP$।
   ২. $\angle MRS$ ও $\angle SDP$ একান্তর কোণ এবং সমান, তাই $MR \parallel PD$ অর্থাৎ $NR \parallel PD$।
   ৩. $MR = RN$ ও $MR = PD$ বলে $RN = PD$। সুতরাং $NRDP$ সামান্তরিক এবং $RD = NP$।
   ৪. $RS = \frac{1}{2}RD = \frac{1}{2}NP$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle MNP$ এ $MO$ রেখাংশ $\angle NMP$ এর সমদ্বিখণ্ডক এবং $O$ বিন্দু $NP$ এর উপর। প্রমাণ করতে হবে, $MN : MP = NO : OP$।

   অঙ্কন: $P$ বিন্দু দিয়ে $MO$ এর সমান্তরাল করে $PQ$ আঁকি, যা $NM$ এর বর্ধিতাংশকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   প্রমাণ:
   ১. $MO \parallel PQ$ এবং $NQ$ ছেদক, তাই $\angle NMO = \angle MQP$ (অনুরূপ কোণ)।
   ২. $MO \parallel PQ$ এবং $MP$ ছেদক, তাই $\angle OMP = \angle MPQ$ (একান্তর কোণ)।
   ৩. $\angle NMO = \angle OMP$ (সমদ্বিখণ্ডক) বলে $\angle MQP = \angle MPQ$। অতএব $\triangle MPQ$ এ $MQ = MP$।
   ৪. $\triangle NPQ$ এ $MO \parallel PQ$, তাই $\frac{NM}{MQ} = \frac{NO}{OP}$।
   ৫. $MQ = MP$ বসিয়ে পাই $\frac{MN}{MP} = \frac{NO}{OP}$।

   $\therefore MN : MP = NO : OP$। (প্রমাণিত)