গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\cot(30^\circ+\theta)=\frac{1}{\sqrt3}=\cot60^\circ$; তাই $30^\circ+\theta=60^\circ$ বা, $\theta=30^\circ$।

   $\therefore \sec\theta=\sec30^\circ=\mathbf{\frac{2}{\sqrt3}}$

2. খ)

   মনে করি, গাছ $AB=96$ মি., ভূতলের বিন্দু $C$ থেকে উন্নতি কোণ $\angle ACB=60^\circ$ এবং $D$ বিন্দুতে $\angle ADB=30^\circ$, $CD=d$ মি.।

   $\triangle ABC$ থেকে $\tan60^\circ=\frac{AB}{BC}$ বা, $BC=\frac{96}{\sqrt3}=32\sqrt3$ মি.।

   $\triangle ABD$ থেকে $\tan30^\circ=\frac{AB}{BD}$ বা, $BD=96\sqrt3$ মি.।

   $\therefore d=BD-BC=96\sqrt3-32\sqrt3=64\sqrt3\approx\mathbf{110.85}$ মি. (প্রায়)

3. গ)

   মনে করি, গাছের গোড়া $B$, দণ্ডায়মান অংশ $BE=h$ মি., ভাঙা অংশ $EF=(96-h)$ মি. এবং $BF=p$ মি.; $\angle BEF=30^\circ$ ও $\angle B=90^\circ$।

   $\triangle BEF$ থেকে, $\tan30^\circ=\frac{BF}{BE}$ বা, $\frac{1}{\sqrt3}=\frac{p}{h}$ বা, $h=\sqrt3\,p$ ... (১)

   আবার, $\sin30^\circ=\frac{BF}{EF}$ বা, $\frac12=\frac{p}{96-h}$ বা, $96-h=2p$ ... (২)

   (১) ও (২) থেকে, $96-\sqrt3\,p=2p$ বা, $p(2+\sqrt3)=96$

   $\therefore p=\frac{96}{2+\sqrt3}=\frac{96(2-\sqrt3)}{4-3}=96(2-\sqrt3)=192-96\sqrt3\approx\mathbf{25.72}$ মি. (প্রায়)