গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধরি, গাছের উন্নতি কোণ $\theta$। $\tan\theta = \dfrac{\text{উচ্চতা}}{\text{ছায়া}} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

   বা, $\tan\theta = \tan 60°$

   অতএব, উন্নতি কোণ $60°$।

2. খ)

   ১নং চিত্রে $M'N' \parallel MN$, $\angle M'AM = 45°$ এবং $\angle N'AN = 60°$। একান্তর কোণ হিসেবে $\angle AMB = 45°$ এবং $\angle ANB = 60°$। $AB \perp MN$ এবং $MN = 1500$ মিটার।

   ধরি $AB = h$ মিটার।

   $\triangle AMB$ এ $\tan 45° = \dfrac{h}{MB}$, তাই $MB = h$

   $\triangle ANB$ এ $\tan 60° = \dfrac{h}{BN}$, তাই $BN = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$

   $MB + BN = MN$ থেকে, $h + \dfrac{h}{\sqrt{3}} = 1500$

   বা, $h\left(\dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}\right) = 1500$

   বা, $h = \dfrac{1500\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{1500\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2} = 750(3 - \sqrt{3})$

   $= 750 \times 1.268 \approx 951$

   অতএব, $AB$ এর দৈর্ঘ্য $750(3 - \sqrt{3})$ মিটার, প্রায় ৯৫১ মিটার।

3. গ)

   ২নং চিত্রে $\triangle SQR$ সমকোণী ($\angle Q = 90°$), $\angle SRQ = 60°$ এবং $SQ = 15$ মি.। চিত্রের চিহ্ন অনুযায়ী $PR = SR$।

   $\sin 60° = \dfrac{SQ}{SR}$, তাই $SR = \dfrac{15}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ মি.

   $\tan 60° = \dfrac{SQ}{RQ}$, তাই $RQ = \dfrac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}$ মি.

   সুতরাং $PR = SR = 10\sqrt{3}$ মি.

   $PQ = PR + RQ = 10\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$

   $= 15 \times 1.732 \approx 25.98$

   অতএব, $PQ$ খুঁটির উচ্চতা $15\sqrt{3}$ মিটার, প্রায় ২৫.৯৮ মিটার।