উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর মনে করি $ABCD$ চতুর্ভুজের $AB, BC, CD, DA$ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $P, Q, R, S$। ধরি $\vec{AB}=\underline{a}$, $\vec{BC}=\underline{b}$, $\vec{CD}=\underline{c}$, $\vec{DA}=\underline{d}$। চতুর্ভুজের বাহুগুলো একই ক্রমে নেওয়ায় $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}+\underline{d}=\underline{0}$।
$\vec{PQ}=\vec{PB}+\vec{BQ}=\frac12\underline{a}+\frac12\underline{b}=\frac12(\underline{a}+\underline{b})$।
একইভাবে $\vec{RS}=\frac12(\underline{c}+\underline{d})$।
কিন্তু $\underline{c}+\underline{d}=-(\underline{a}+\underline{b})$, তাই $\vec{RS}=-\frac12(\underline{a}+\underline{b})=-\vec{PQ}$, অর্থাৎ $\vec{PQ}=-\vec{RS}=\vec{SR}$। সুতরাং $PQ$ ও $SR$ সমান ও সমান্তরাল।
অনুরূপভাবে $\vec{QR}=\frac12(\underline{b}+\underline{c})=\vec{PS}$ প্রমাণ করা যায়, অর্থাৎ $QR$ ও $PS$ সমান ও সমান্তরাল।
অতএব $PQRS$ একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)