গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $A=30^\circ$ হলে, বামপক্ষ $=\sin(3\times30^\circ)=\sin90^\circ=1$।

   ডানপক্ষ $=3\sin30^\circ-4\sin^330^\circ=3\times\frac12-4\times\frac18=\frac32-\frac12=1$

   $\therefore\sin3A=3\sin A-4\sin^3A$ (দেখানো হলো)

2. খ)

   $mn=(\cot\theta+\cos\theta)(\cot\theta-\cos\theta)=\cot^2\theta-\cos^2\theta=\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}-\cos^2\theta=\frac{\cos^2\theta(1-\sin^2\theta)}{\sin^2\theta}=\frac{\cos^4\theta}{\sin^2\theta}$

   $\sqrt{mn}=\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}$ ($\theta$ সূক্ষ্মকোণ ধরে)

   $\therefore\sqrt{mn}\sec^2\theta=\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}\times\frac1{\cos^2\theta}=\frac1{\sin\theta}=\text{cosec}\theta$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   চিত্রে $\triangle PQR$ সমকোণী ($\angle Q=90^\circ$), অতিভুজ $PR=2$, $QR=\sqrt3$, $\angle P=3\alpha-2\beta$, $\angle R=\alpha+2\beta$।

   $\sin P=\frac{QR}{PR}=\frac{\sqrt3}2=\sin60^\circ$ বা, $3\alpha-2\beta=60^\circ$ ... (১)

   $\cos R=\frac{QR}{PR}=\frac{\sqrt3}2=\cos30^\circ$ বা, $\alpha+2\beta=30^\circ$ ... (২)

   (১) + (২): $4\alpha=90^\circ$ বা, $\alpha=22.5^\circ$। (২) থেকে $2\beta=30^\circ-22.5^\circ=7.5^\circ$ বা, $\beta=3.75^\circ$।

   $\therefore\alpha+\beta=22.5^\circ+3.75^\circ=\mathbf{26.25^\circ}$ (অর্থাৎ $26^\circ15'$)