উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০১৯
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১: f(x)=∣bx−c∣ \mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{bx}-\mathrm{c}| দৃশ্যকল্প-২: 2x=−1+−3 2 \mathrm{x}=-1+\sqrt{-3} এবং 2y=−1−−3 2 \mathrm{y}=-1-\sqrt{-3}
- ক)(1)
−5+12−1 -5+12 \sqrt{-1} এর বর্গমূল নির্ণয় কর।
- খ)(2)
দৃশ্যকল্প-১ এ, b=1, c=2 এবং f(x)<14 \mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{4} হলে দেখাও যে, f(x2−2)<1716 f\left(x^{2}-2\right)<\frac{17}{16}
- গ)(3)
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে প্রমাণ কর, x4+x3y+x2y2+xyy3+y4=−1 \mathrm{x}^{4}+\mathrm{x}^{3} \mathrm{y}+\mathrm{x}^{2} \mathrm{y}^{2}+\mathrm{xy} y^{3}+\mathrm{y}^{4}=-1
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
ধরি, z = -5 + 12i
আমরা জানি, -5 + 12i = 4 - 9 + 12i = 2² + (3i)² + 2 · 2 · (3i) = (2 + 3i)²
∴ √(-5 + 12i) = ±(2 + 3i) - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, f(x) = |bx - c|
b = 1 এবং c = 2 হলে, f(x) = |x - 2|শর্তানুসারে,
f(x) < 1/4
বা, |x - 2| < 1/4
বা, -1/4 < x - 2 < 1/4
বা, 2 - 1/4 < x < 2 + 1/4
বা, 7/4 < x < 9/4বর্গ করে পাই,
49/16 < x² < 81/16
উভয়পক্ষ থেকে 4 বিয়োগ করে পাই,
49/16 - 4 < x² - 4 < 81/16 - 4
বা, -15/16 < x² - 4 < 17/16যেহেতু -17/16 < -15/16, তাই লেখা যায়:
-17/16 < x² - 4 < 17/16
বা, |x² - 4| < 17/16এখন, f(x² - 2) = |1·(x² - 2) - 2| = |x² - 4|
∴ f(x² - 2) < 17/16 (দেখানো হলো)। - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে,
2x = -1 + √(-3) = -1 + i√3 => x = (-1 + i√3)/2 = ω (এককের একটি জটিল কাল্পনিক ঘনমূল)
2y = -1 - √(-3) = -1 - i√3 => y = (-1 - i√3)/2 = ω²
আমরা জানি, ω³ = 1 এবং 1 + ω + ω² = 0
তাছাড়া, xy = ω · ω² = ω³ = 1বামপক্ষ = x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴
মান বসিয়ে পাই:
x⁴ = (ω)⁴ = ω³ · ω = ω
x³y = (ω)³ · (ω²) = 1 · ω² = ω²
x²y² = (xy)² = 1² = 1
xy³ = ω · (ω²)³ = ω · 1 = ω
y⁴ = (ω²)⁴ = ω⁸ = (ω³)² · ω² = 1 · ω² = ω²অতএব,
x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴
= ω + ω² + 1 + ω + ω²
= (1 + ω + ω²) + (ω + ω²)
= 0 + (-1) [যেহেতু 1 + ω + ω² = 0 => ω + ω² = -1]
= -1
= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও