গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধারাটির প্রথম পদ $a=9$, সাধারণ অন্তর $d=6-9=-3$। ধরি, $n$-তম পদ $=-201$।

   $a+(n-1)d=-201$

   বা, $9-3(n-1)=-201$

   বা, $-3(n-1)=-210$

   বা, $n-1=70$, অতএব $n=71$

   উত্তর: ৭১তম পদ

2. খ)

   ধরি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$।

   $ar^3=\dfrac1{3\sqrt6}$ ......(১) এবং $ar^6=\dfrac1{27\sqrt2}$ ......(২)

   (২) ÷ (১): $r^3=\dfrac{3\sqrt6}{27\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt3}{27}=\dfrac{\sqrt3}9=3^{\frac12-2}=3^{-\frac32}$

   $\therefore r=3^{-\frac12}=\dfrac1{\sqrt3}$

   (১) থেকে, $a=\dfrac1{3\sqrt6\,r^3}=\dfrac{3^{\frac32}}{3\sqrt6}=\dfrac{3\sqrt3}{3\sqrt6}=\dfrac1{\sqrt2}$

   $\therefore$ ধারাটি: $\dfrac1{\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt6}+\dfrac1{3\sqrt2}+\dfrac1{3\sqrt6}+\cdots$

   উত্তর: $\dfrac1{\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt6}+\dfrac1{3\sqrt2}+\cdots$ (প্রথম পদ $\dfrac1{\sqrt2}$, সাধারণ অনুপাত $\dfrac1{\sqrt3}$)

3. গ)

   ধরি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$।

   $S_{12}=\dfrac{12}2\{2a+11d\}=348$

   বা, $2a+11d=58$ ......(১)

   $S_{17}=\dfrac{17}2\{2a+16d\}=663$

   বা, $2a+16d=78$ ......(২)

   (২) − (১): $5d=20$, অতএব $d=4$।

   (১) থেকে, $2a=58-44=14$, অতএব $a=7$।

   $\therefore$ ৩৪তম পদ $=a+33d=7+33\times4=7+132=139$

   উত্তর: $139$