গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\log_x ২৫০০ = ৪ \Rightarrow x^৪ = ২৫০০ = ৫০^২$

   $\Rightarrow x^২ = ৫০$ [ভিত্তি ধনাত্মক]

   $\Rightarrow x = \sqrt{৫০} = \mathbf{৫\sqrt{২}}$

2. খ)

   $l, m, n, t$ ক্রমিক সমানুপাতিক, তাই $\dfrac{l}{m} = \dfrac{m}{n} = \dfrac{n}{t} = k$ (ধরি)।

   তাহলে $n = tk,\ m = nk = tk^২,\ l = mk = tk^৩$।

   বামপক্ষ $= (l^২ + m^২ - n^২)(m^২ + n^২ - t^২)$

   $= (t^২k^৬ + t^২k^৪ - t^২k^২)(t^২k^৪ + t^২k^২ - t^২)$

   $= t^২k^২(k^৪ + k^২ - ১) \cdot t^২(k^৪ + k^২ - ১)$

   $= t^৪k^২(k^৪ + k^২ - ১)^২$

   ডানপক্ষ $= (lm + mn - nt)^২ = (t^২k^৫ + t^২k^৩ - t^২k)^২$

   $= \{t^২k(k^৪ + k^২ - ১)\}^২ = t^৪k^২(k^৪ + k^২ - ১)^২$

   সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

3. গ)

   $a = \dfrac{p+q}{p-q}$

   যোগ-বিয়োগ করে, $\dfrac{a+১}{a-১} = \dfrac{(p+q)+(p-q)}{(p+q)-(p-q)} = \dfrac{২p}{২q} = \dfrac{p}{q}$

   বর্গ করে, $\dfrac{(a+১)^২}{(a-১)^২} = \dfrac{p^২}{q^২} = \dfrac{৪+৩x}{৪-৩x}$

   আবার যোগ-বিয়োগ করে,

   $\dfrac{(a+১)^২ + (a-১)^২}{(a+১)^২ - (a-১)^২} = \dfrac{(৪+৩x)+(৪-৩x)}{(৪+৩x)-(৪-৩x)}$

   $\Rightarrow \dfrac{২a^২+২}{৪a} = \dfrac{৮}{৬x}$

   $\Rightarrow \dfrac{a^২+১}{২a} = \dfrac{৪}{৩x}$

   $\Rightarrow ৩x(a^২+১) = ৮a$

   $\Rightarrow x = \dfrac{৮a}{৩a^২+৩}$। (প্রমাণিত)