গণিত • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩

গণিত প্রশ্ন

p=cos⁡θ1−sin⁡θ,q=1−sin⁡θcos⁡θ এবং r=sec⁡θ \mathrm{p}=\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}, \mathrm{q}=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta} \text { এবং } \mathrm{r}=\sec \theta

  1. ক)

    tan⁡A=x \tan \mathrm{A}=\mathrm{x} হলে, sec⁡2 A \sec ^{2} \mathrm{~A} এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    দেখাও যে, p+q=2r p+q=2 r .

    (2)
  3. গ)

    q=1 q=1 হলে, θ \theta এর মান নির্ণয় কর, যখন 0∘≤θ≤90∘ 0^{\circ} \leq \theta \leq 90^{\circ}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    sec⁡2A=1+tan⁡2A=1+x2\sec^2 A = 1 + \tan^2 A = \mathbf{1 + x^2} [যেহেতু tan⁡A=x\tan A = x]।

  2. খ)

    p+q=cos⁡θ1−sin⁡θ+1−sin⁡θcos⁡θ=cos⁡2θ+(1−sin⁡θ)2(1−sin⁡θ)cos⁡θp + q = \dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta} + \dfrac{1-\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\cos^2\theta + (1-\sin\theta)^2}{(1-\sin\theta)\cos\theta}
    =cos⁡2θ+1−2sin⁡θ+sin⁡2θ(1−sin⁡θ)cos⁡θ=2−2sin⁡θ(1−sin⁡θ)cos⁡θ= \dfrac{\cos^2\theta + 1 - 2\sin\theta + \sin^2\theta}{(1-\sin\theta)\cos\theta} = \dfrac{2 - 2\sin\theta}{(1-\sin\theta)\cos\theta} [কারণ sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1]
    =2(1−sin⁡θ)(1−sin⁡θ)cos⁡θ=2cos⁡θ=2sec⁡θ=2r= \dfrac{2(1-\sin\theta)}{(1-\sin\theta)\cos\theta} = \dfrac{2}{\cos\theta} = 2\sec\theta = 2r।
    অতএব, p+q=2rp + q = 2r। (দেখানো হলো)

  3. গ)

    q=1q = 1 হলে 1−sin⁡θcos⁡θ=1\dfrac{1-\sin\theta}{\cos\theta} = 1, অর্থাৎ 1−sin⁡θ=cos⁡θ1 - \sin\theta = \cos\theta।
    বর্গ করে 1−2sin⁡θ+sin⁡2θ=cos⁡2θ=1−sin⁡2θ1 - 2\sin\theta + \sin^2\theta = \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta
    বা 2sin⁡2θ−2sin⁡θ=02\sin^2\theta - 2\sin\theta = 0 বা 2sin⁡θ(sin⁡θ−1)=02\sin\theta(\sin\theta - 1) = 0
    তাই sin⁡θ=0\sin\theta = 0 অথবা sin⁡θ=1\sin\theta = 1, অর্থাৎ θ=0∘\theta = 0^\circ অথবা 90∘90^\circ।
    θ=90∘\theta = 90^\circ হলে cos⁡θ=0\cos\theta = 0, তখন qq অসংজ্ঞায়িত, তাই গ্রহণযোগ্য নয়। θ=0∘\theta = 0^\circ হলে q=1−01=1q = \dfrac{1-0}{1} = 1 ✓।
    অতএব, θ=0∘\theta = \mathbf{0^\circ}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন