গণিত • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২২

গণিত প্রশ্ন

  1. ক)

    দুইটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে ৪ সে.মি. এবং 6 সে.মি.। বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, ∠EDG+∠EFG= \angle \mathrm{EDG}+\angle \mathrm{EFG}= দুই সমকোণ।

    (2)
  3. গ)

    DF এবং EG কর্ণদয় পরস্পর T বিন্দুতে ছেদ করালে প্রমাণ কর যে, ∠DOE+∠FOG=2∠DTE \angle \mathrm{DOE}+\angle \mathrm{FOG}=2 \angle \mathrm{DTE} ।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 42=2\dfrac42=2 সে.মি. ও 62=3\dfrac62=3 সে.মি.। বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফলের সমান।

    কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব =2+3==2+3= ৫ সে.মি.

  2. খ)

    বিশেষ নির্বচন: OO কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে DEFGDEFG একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। প্রমাণ করতে হবে, ∠EDG+∠EFG=2\angle EDG+\angle EFG=2 সমকোণ।

    অঙ্কন: O,EO,E এবং O,GO,G যোগ করি।

    প্রমাণ:
    ১. EFGEFG চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠EOG\angle EOG এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠EDG\angle EDG। সুতরাং প্রবৃদ্ধ ∠EOG=2∠EDG\angle EOG=2\angle EDG।
    ২. EDGEDG চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠EOG\angle EOG (ক্ষুদ্র কোণ) এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠EFG\angle EFG। সুতরাং ∠EOG=2∠EFG\angle EOG=2\angle EFG।
    ৩. যোগ করে, প্রবৃদ্ধ ∠EOG+∠EOG=2∠EDG+2∠EFG\angle EOG+\angle EOG=2\angle EDG+2\angle EFG

    বা, 44 সমকোণ =2(∠EDG+∠EFG)=2(\angle EDG+\angle EFG)

    ∴∠EDG+∠EFG=2\therefore \angle EDG+\angle EFG=2 সমকোণ। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    বিশেষ নির্বচন: OO কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে DFDF ও EGEG কর্ণ দুটি TT বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে, ∠DOE+∠FOG=2∠DTE\angle DOE+\angle FOG=2\angle DTE।

    অঙ্কন: E,FE,F যোগ করি।

    প্রমাণ:
    △TEF\triangle TEF-এর FTFT বাহুকে DD পর্যন্ত বাড়ালে বহিঃস্থ কোণ ∠DTE\angle DTE হয়। বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান, তাই

    ∠DTE=∠TEF+∠TFE=∠GEF+∠DFE\angle DTE=\angle TEF+\angle TFE=\angle GEF+\angle DFE ......(১)

    আবার FGFG চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠FOG\angle FOG এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠GEF\angle GEF, তাই ∠GEF=12∠FOG\angle GEF=\dfrac12\angle FOG ......(২)

    DEDE চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠DOE\angle DOE এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠DFE\angle DFE, তাই ∠DFE=12∠DOE\angle DFE=\dfrac12\angle DOE ......(৩)

    (১), (২) ও (৩) থেকে, ∠DTE=12∠FOG+12∠DOE\angle DTE=\dfrac12\angle FOG+\dfrac12\angle DOE

    ∴∠DOE+∠FOG=2∠DTE\therefore \angle DOE+\angle FOG=2\angle DTE (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন