গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   পরিধি $= 2\pi r = 22$ সে.মি. হলে $r = \dfrac{22}{2\pi} = \dfrac{22 \times 7}{2 \times 22} = 3.5$ সে.মি. ($\pi = \dfrac{22}{7}$ ধরে)।

   অঙ্কন: একটি বিন্দু $O$ নিই। কম্পাসের কাঁটা $O$ তে রেখে পেনসিলের মুখ $3.5$ সে.মি. দূরে রেখে ঘুরিয়ে বৃত্ত আঁকি। এটিই নির্ণেয় বৃত্ত, যার পরিধি $22$ সে.মি.।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $PQRS$ চতুর্ভুজে $\angle Q + \angle S = 180^\circ$ (বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ)। দেখাতে হবে $P, Q, R, S$ সমবৃত্ত।

   প্রমাণ: $P, Q, R$ বিন্দু একই সরলরেখায় নয়, তাই এদের মধ্য দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা যায়। ধরি $S$ বিন্দু ঐ বৃত্তের উপর নেই; $S$ বৃত্তের ভেতরে হলে $PS$ কে বাড়ালে বৃত্তকে $S'$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   $PQRS'$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, তাই $\angle Q + \angle PS'R = 180^\circ$। কিন্তু দেওয়া আছে $\angle Q + \angle PSR = 180^\circ$। অতএব $\angle PSR = \angle PS'R$।

   কিন্তু $\angle PSR$ হলো $\triangle SS'R$ এর বহিঃস্থ কোণ, তাই $\angle PSR > \angle PS'R$। এটি অসম্ভব। $S$ বৃত্তের বাইরে হলেও একইভাবে বিরোধ পাওয়া যায়।

   সুতরাং $S$ বৃত্তের উপরেই অবস্থিত, অর্থাৎ $P, Q, R, S$ বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (দেখানো হলো)

3. গ)

   (লক্ষণীয়: প্রশ্নে "$\angle QRS$" ছাপা হলেও সিদ্ধান্ত $RS = QR$ পেতে $PR$ কে $\angle QPS$ এর সমদ্বিখণ্ডক ধরতে হয়; সেভাবেই প্রমাণ করা হলো।)

   বিশেষ নির্বচন: $PQRS$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং $PR$ রেখা $\angle QPS$ এর সমদ্বিখণ্ডক, অর্থাৎ $\angle QPR = \angle RPS$। প্রমাণ করতে হবে $RS = QR$।

   প্রমাণ: একই বৃত্তে সমান বৃত্তস্থ কোণ সমান চাপের উপর দণ্ডায়মান। $\angle QPR = \angle RPS$ বলে চাপ $QR$ = চাপ $RS$।
   সমান চাপের জ্যাও সমান। সুতরাং $QR = RS$, অর্থাৎ $RS = QR$। (প্রমাণিত)