গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ বৃত্তের কেন্দ্র, $AB$ ব্যাস এবং $C$ অর্ধবৃত্তের ওপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $\angle ACB = 90°$।

   অঙ্কন: $O, C$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $OA = OC = OB$ (ব্যাসার্ধ)। তাই $\angle OAC = \angle OCA$ এবং $\angle OBC = \angle OCB$।

   $\triangle ABC$ এ, $\angle CAB + \angle ABC + \angle ACB = 180°$

   বা, $\angle OCA + \angle OCB + \angle ACB = 180°$

   বা, $2\angle ACB = 180°$ ($\angle OCA + \angle OCB = \angle ACB$)

   বা, $\angle ACB = 90°$ (প্রমাণিত)।

2. খ)

   প্রমাণ: $O, L$; $O, K$ এবং $O, R$ যোগ করি।

   স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের ওপর লম্ব, তাই $\angle OLR = \angle OKR = 90°$।

   $\triangle OLR$ ও $\triangle OKR$ সমকোণী ত্রিভুজে,

   $OL = OK$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

   অতিভুজ $OR$ সাধারণ।

   সুতরাং $\triangle OLR \cong \triangle OKR$ (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)

   অতএব, $RL = RK$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $MNTS$ অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ; কর্ণ $MT$ ও $NS$ পরস্পরকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে $\angle MON + \angle TOS = 2\angle MPN$।

   অঙ্কন: $M, N$ এর সাথে $T$ এবং $N, T$ যোগ করি (অর্থাৎ $\angle MTN$ ও $\angle TNS$ নিই)।

   প্রমাণ: $MN$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle MON$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle MTN$। তাই $\angle MON = 2\angle MTN$ ... (i)

   $TS$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle TOS$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle TNS$। তাই $\angle TOS = 2\angle TNS$ ... (ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে, $\angle MON + \angle TOS = 2(\angle MTN + \angle TNS)$ ... (iii)

   $\triangle PNT$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle MPN = \angle PTN + \angle PNT = \angle MTN + \angle TNS$ ... (iv)

   (iii) ও (iv) থেকে, $\angle MON + \angle TOS = 2\angle MPN$ (প্রমাণিত)।