গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বাক্সটির কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{9^2 + 7^2 + 5^2} = \sqrt{81 + 49 + 25} = \sqrt{155} \approx \mathbf{12.45}$ সে.মি. (প্রায়)।

2. খ)

   ধরি, কাঠের পুরুত্ব $t$ সে.মি.। তাহলে ভিতরের মাপ $(9 - 2t)$, $(7 - 2t)$ ও $(5 - 2t)$ সে.মি.।

   ভিতরের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল:
   $2[(9-2t)(7-2t) + (7-2t)(5-2t) + (5-2t)(9-2t)] = 142$

   বা $(63 - 32t + 4t^2) + (35 - 24t + 4t^2) + (45 - 28t + 4t^2) = 71$

   বা $12t^2 - 84t + 143 = 71$ বা $12t^2 - 84t + 72 = 0$ বা $t^2 - 7t + 6 = 0$

   বা $(t - 1)(t - 6) = 0$ $\therefore t = 1$ অথবা $t = 6$।

   $t = 6$ গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ তখন ভিতরের মাপ ঋণাত্মক হয়। সুতরাং কাঠের পুরুত্ব $1$ সে.মি.।

3. গ)

   বাক্সটির বাইরের আয়তন $= 9 \times 7 \times 5 = 315$ ঘন সে.মি.।

   ধরি, বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ $r$, তাহলে উচ্চতা $h = 2r$।

   শর্তমতে, $\pi r^2 \cdot 2r = 315$ বা $r^3 = \frac{315}{2\pi} = \frac{315}{2 \times 3.1416} \approx 50.13$

   $\therefore r \approx 3.69$ সে.মি.।

   ভূমির ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 3.1416 \times (3.687)^2 \approx \mathbf{42.71}$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

   সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\pi r(r + h) = 2\pi r \cdot 3r = 6\pi r^2 = 6 \times 42.71 \approx \mathbf{256.24}$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)।