গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধারাটির প্রথম পদ $a=1$, সাধারণ অনুপাত $r=\frac1{\sqrt5}$

   $\frac1{625\sqrt5}=\frac1{5^4\cdot5^{1/2}}=\frac1{5^{9/2}}=\left(\frac1{\sqrt5}\right)^9$

   $n$-তম পদ $=ar^{n-1}=\left(\frac1{\sqrt5}\right)^{n-1}$ হলে $n-1=9\Rightarrow n=10$

   উত্তর: ১০ম পদ

2. খ)

   ধরি, প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$।

   $ar^2=\frac1{2\sqrt2}$ এবং $ar^6=\frac1{8\sqrt2}$

   ভাগ করে, $r^4=\frac{1}{8\sqrt2}\times2\sqrt2=\frac14\Rightarrow r^2=\frac12\Rightarrow r=\frac1{\sqrt2}$

   $a\cdot\frac12=\frac1{2\sqrt2}\Rightarrow a=\frac1{\sqrt2}$

   প্রথম ৪টি পদ: $\frac1{\sqrt2},\ \frac12,\ \frac1{2\sqrt2},\ \frac14$

   সমষ্টি $=\frac{a(1-r^4)}{1-r}=\frac{\frac1{\sqrt2}\left(1-\frac14\right)}{1-\frac1{\sqrt2}}=\frac{3}{4\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2-1}=\frac{3}{4(\sqrt2-1)}=\frac{3(\sqrt2+1)}4$

   উত্তর: $\frac{3(\sqrt2+1)}{4}$ (ধনাত্মক অনুপাত ধরে)

3. গ)

   ধরি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$।

   $S_{10}=\frac{10}2(2a+9d)=155\Rightarrow2a+9d=31$ ......(i)

   $S_{20}=\frac{20}2(2a+19d)=610\Rightarrow2a+19d=61$ ......(ii)

   (ii) − (i) করে, $10d=30\Rightarrow d=3$

   (i) এ বসিয়ে, $2a+27=31\Rightarrow a=2$

   $S_{25}=\frac{25}2\{2\times2+(25-1)\times3\}=\frac{25}2\times76=950$

   উত্তর: প্রথম ২৫টি পদের সমষ্টি $\mathbf{950}$