গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\sin\theta = \sqrt{2^{-1}} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \sin 45^\circ$
   সুতরাং $\theta = \mathbf{45^\circ}$

2. খ)

   (প্রশ্নে ছাপা সংখ্যা $86$ মিটার ধরে সমাধান করা হলো।)

   গাছের মোট উচ্চতা $h = 86$ মিটার। ধরি গাছটি ভূমি থেকে $x$ মিটার উঁচুতে ভেঙে গেছে এবং ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য $y$ মিটার। তাহলে $x + y = 86$।

   ভাঙা অংশ ভূমির সাথে $30^\circ$ কোণ করে, তাই $\sin 30^\circ = \dfrac{x}{y}$ বা $\dfrac{1}{2} = \dfrac{x}{y}$ বা $y = 2x$

   $x + 2x = 86$ বা $3x = 86$ বা $x = \dfrac{86}{3}$

   ভাঙা অংশ $y = 2x = \dfrac{172}{3} \approx \mathbf{57.33}$ মিটার।

   (সূত্র: ভাঙা অংশ $= \dfrac{2}{3} \times$ মোট উচ্চতা)

3. গ)

   (প্রশ্নে ছাপা সংখ্যা $52$ মিটার ধরে সমাধান করা হলো।)

   দালানের উচ্চতা $AB = h$ মিটার। প্রথম স্থান $C$ থেকে উন্নতি কোণ $60^\circ$ এবং $52$ মিটার পিছিয়ে $D$ থেকে $30^\circ$; $CD = 52$ মিটার, $BC = x$ মিটার।

   $\triangle ABC$ এ $\tan 60^\circ = \dfrac{h}{x}$ বা $x = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$ ...... (১)
   $\triangle ABD$ এ $\tan 30^\circ = \dfrac{h}{x + 52}$ বা $x + 52 = \sqrt{3}\,h$ ...... (২)

   (১) থেকে $x$ এর মান (২) এ বসিয়ে, $\dfrac{h}{\sqrt{3}} + 52 = \sqrt{3}\,h$
   বা, $52 = \sqrt{3}\,h - \dfrac{h}{\sqrt{3}} = \dfrac{3h - h}{\sqrt{3}} = \dfrac{2h}{\sqrt{3}}$
   বা, $h = \dfrac{52\sqrt{3}}{2} = 26\sqrt{3} \approx 45.03$

   সুতরাং দালানের উচ্চতা $\mathbf{26\sqrt{3}}$ মিটার $\approx 45.03$ মিটার।