গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধরি বর্গক্ষেত্রের বাহু $a$। তাহলে ক্ষেত্রফল $= a^2$।
   সমকোণী ত্রিভুজ থেকে কর্ণ $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$।
   কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= d^2 = 2a^2$।
   তাই $a^2 = \dfrac{1}{2}\times 2a^2$। অর্থাৎ বর্গক্ষেত্রটি তার কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক। (প্রমাণিত)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $FHG$ চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ $\angle FEG$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle FOG$। প্রমাণ করতে হবে $\angle FOG = 2\angle FEG$।
   অঙ্কন: $E, O$ যোগ করে বর্ধিত করি, যা বৃত্তকে $K$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   প্রমাণ: $\triangle OEF$ এ $OE = OF$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OEF = \angle OFE$।
   বহিঃস্থ কোণ $\angle FOK = \angle OEF + \angle OFE = 2\angle OEF$ ...(১)
   একইভাবে $\triangle OEG$ এ $\angle GOK = 2\angle OEG$ ...(২)
   (১) ও (২) যোগ করে $\angle FOK + \angle GOK = 2(\angle OEF + \angle OEG)$
   অর্থাৎ $\angle FOG = 2\angle FEG$।
   অতএব, $2\angle FEG = \angle FOG$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   দেওয়া আছে $\angle FEH + \angle HEG = 90^\circ$, অর্থাৎ $\angle FEG = 90^\circ$ (কারণ $H$ চাপ $FG$ এর উপর)।
   আগের প্রমাণ অনুযায়ী $\angle FOG = 2\angle FEG = 2\times 90^\circ = 180^\circ$।
   $\angle FOG = 180^\circ$ হওয়ায় $FO$ ও $OG$ একই সরলরেখায় থাকে।
   অতএব, $F, O, G$ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমাণিত)