গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বৃত্তের ব্যাস $11$ সে.মি. হলে ব্যাসার্ধ $r = \frac{11}{2} = 5.5$ সে.মি.।

   ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 3.1416 \times (5.5)^2 = 3.1416 \times 30.25 \approx \mathbf{95.03}$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

2. খ)

   অঙ্কন: $O$ থেকে $AC$ ও $BD$ এর উপর লম্ব $OP$ ও $OQ$ আঁকি।

   প্রমাণ:
   ১. বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই $AP = \frac{1}{2}AC$ এবং $BQ = \frac{1}{2}BD$। যেহেতু $AC = BD$, তাই $AP = BQ$।
   ২. বৃত্তের সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী, তাই $OP = OQ$।
   ৩. $\triangle OPM$ ও $\triangle OQM$ এ $\angle OPM = \angle OQM = 90^\circ$, অতিভুজ $OM$ সাধারণ এবং $OP = OQ$। সুতরাং $\triangle OPM \cong \triangle OQM$ (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)। অতএব $PM = QM$।
   ৪. চিত্র অনুযায়ী $AM = AP + PM$ এবং $BM = BQ + QM$। $AP = BQ$ ও $PM = QM$ বলে $AM = BM$।
   ৫. আবার $CM = AC - AM$ এবং $DM = BD - BM$। $AC = BD$ ও $AM = BM$ বলে $CM = DM$। (দেখানো হলো)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AC$ ও $BD$ জ্যা দুইটি $M$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে, $\angle AOB + \angle DOC = 2\angle AMB$।

   অঙ্কন: $B, C$ যোগ করি।

   প্রমাণ:
   ১. $\angle AMB$ হলো $\triangle BMC$ এর বহিঃস্থ কোণ ($CM$ কে $A$ পর্যন্ত বর্ধিত করায়)। তাই $\angle AMB = \angle MBC + \angle MCB = \angle DBC + \angle ACB$।
   ২. $AB$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB$ ও বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB$ বলে $\angle AOB = 2\angle ACB$।
   ৩. $DC$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle DOC$ ও বৃত্তস্থ কোণ $\angle DBC$ বলে $\angle DOC = 2\angle DBC$।
   ৪. যোগ করে, $\angle AOB + \angle DOC = 2(\angle ACB + \angle DBC) = 2\angle AMB$। (প্রমাণিত)