গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\sin(90° - \theta) = \cos\theta = \dfrac{5}{13}$

   তাহলে $\sin\theta = \sqrt{1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{144}{169}} = \dfrac{12}{13}$

   $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{12/13}{5/13} =$ $\dfrac{12}{5}$

2. খ)

   কিলোমিটার পোস্ট দুটি পরপর অবস্থিত, তাই $AB = 1$ কিমি $= 1000$ মিটার।

   ধরি, হেলিকপ্টারের উচ্চতা $OC = h$ মিটার, যেখানে $C$ হলো $AB$ এর ওপর $O$ এর পাদবিন্দু। অবনতি কোণ $A$ এর জন্য $60°$ ও $B$ এর জন্য $30°$, তাই $\angle OAC = 60°$ ও $\angle OBC = 30°$।

   $\tan 60° = \dfrac{h}{AC}$, তাই $AC = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$

   $\tan 30° = \dfrac{h}{BC}$, তাই $BC = h\sqrt{3}$

   $AC + BC = AB$ থেকে, $\dfrac{h}{\sqrt{3}} + h\sqrt{3} = 1000$

   বা, $\dfrac{h + 3h}{\sqrt{3}} = 1000$

   বা, $h = \dfrac{1000\sqrt{3}}{4} = 250\sqrt{3} \approx 433$

   অতএব, হেলিকপ্টারের উচ্চতা $250\sqrt{3}$ মিটার (প্রায় ৪৩৩ মিটার)।

3. গ)

   $\triangle OAC$ এ $\sin 60° = \dfrac{OC}{OA}$, তাই $OA = \dfrac{250\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 500$ মিটার।

   $\triangle OBC$ এ $\sin 30° = \dfrac{OC}{OB}$, তাই $OB = \dfrac{250\sqrt{3}}{1/2} = 500\sqrt{3}$ মিটার।

   দূরত্বের পার্থক্য $= OB - OA = 500\sqrt{3} - 500 = 500(\sqrt{3} - 1)$

   $= 500 \times 0.732 = 366$ (প্রায়)

   অতএব, $A$ ও $B$ বিন্দু থেকে হেলিকপ্টারের দূরত্বের পার্থক্য $500(\sqrt{3} - 1)$ মিটার, প্রায় ৩৬৬ মিটার।