উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমান্তরাল সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
   2x - 3y + k = 0 ... (i)
   2x - 3y = 0 ... (ii)

   আমরা জানি, ax + by + c1 = 0 এবং ax + by + c2 = 0 সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব =
   |c1 - c2| / √(a² + b²)

   সুতরাং, রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব =
   |k - 0| / √(2² + (-3)²)
   = |k| / √(4 + 9)
   = |k| / √13

   প্রশ্নমতে,
   |k| / √13 = 2√13
   বা, |k| = 2 × 13
   বা, |k| = 26
   ∴ k = ± 26 (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   A ≡ (1, 5), B ≡ (2, 2), C ≡ (h, k) এবং D ≡ (k, h)।

   AC রেখার ঢাল = (k - 5) / (h - 1)
   প্রশ্নমতে,
   (k - 5) / (h - 1) = -2
   বা, k - 5 = -2h + 2
   বা, 2h + k = 7 ... (i)

   আবার, BD রেখার ঢাল = (h - 2) / (k - 2)
   প্রশ্নমতে,
   (h - 2) / (k - 2) = -1
   বা, h - 2 = -k + 2
   বা, h + k = 4 ... (ii)

   সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,
   (2h + k) - (h + k) = 7 - 4
   বা, h = 3

   h এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   3 + k = 4
   বা, k = 1

   অতএব, বিন্দুদ্বয় হলো C(3, 1) এবং D(1, 3)।

   CD রেখার সমীকরণ:
   (y - 1) / (x - 3) = (1 - 3) / (3 - 1)
   বা, (y - 1) / (x - 3) = -2 / 2 = -1
   বা, y - 1 = -x + 3
   বা, x + y - 4 = 0

   x-অক্ষকে ছেদ করার ক্ষেত্রে y = 0 বসিয়ে পাই,
   x + 0 - 4 = 0
   বা, x = 4

   অতএব, x-অক্ষকে CD রেখা যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক (4, 0)। (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় A(1, 5) এবং B(2, 2)।

   AB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   ((1 + 2)/2, (5 + 2)/2) = (3/2, 7/2)

   AB রেখার ঢাল, m1 = (2 - 5) / (2 - 1) = -3 / 1 = -3

   যেহেতু লম্ব-দ্বিখণ্ডকটি AB রেখার ওপর লম্ব, তাই লম্ব-দ্বিখণ্ডকের ঢাল m2 হলে,
   m1 × m2 = -1
   বা, -3 × m2 = -1
   বা, m2 = 1/3

   অতএব, (3/2, 7/2) বিন্দুগামী এবং 1/3 ঢালবিশিষ্ট লম্ব-দ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:
   y - 7/2 = (1/3)(x - 3/2)
   বা, (2y - 7)/2 = (2x - 3)/6
   বা, 3(2y - 7) = 2x - 3 [উভয়পক্ষকে 6 দ্বারা গুণ করে]
   বা, 6y - 21 = 2x - 3
   বা, 2x - 6y + 18 = 0
   বা, x - 3y + 9 = 0 [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

   অতএব, নির্ণেয় লম্ব-দ্বিখণ্ডকের সমীকরণ: x - 3y + 9 = 0 (Ans.)