উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: Part (ga): The diagram exhibits a contradiction between the visual orientation (vertical directrix) and the written algebraic label (y = 6). The primary solution follows the explicit algebraic label of the standard textbook problem (vertex (2,3) and directrix y = 6), and an alternative solution assumes a typo where the vertical directrix was intended as x = -6.

   দেওয়া আছে, উপবৃত্তটির সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{p} + \frac{y^2}{25} = 1$

   উপবৃত্তটি $(6, 4)$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। সুতরাং,
   $\frac{6^2}{p} + \frac{4^2}{25} = 1$
   $\implies \frac{36}{p} + \frac{16}{25} = 1$
   $\implies \frac{36}{p} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$
   $\implies p = \frac{36 \times 25}{9} = 100$

   সুতরাং উপবৃত্তটির সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$
   এখানে, $a^2 = 100$ এবং $b^2 = 25$ (যেহেতু $a > b$)।

   অতএব, উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{100}} = \sqrt{\frac{75}{100}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

   উত্তর: $p = 100$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: Part (ga): The diagram exhibits a contradiction between the visual orientation (vertical directrix) and the written algebraic label (y = 6). The primary solution follows the explicit algebraic label of the standard textbook problem (vertex (2,3) and directrix y = 6), and an alternative solution assumes a typo where the vertical directrix was intended as x = -6.

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $f(x, y) = 16x^2 - 9y^2 + 64x + 54y - 161 = 0$
   $\implies 16(x^2 + 4x) - 9(y^2 - 6y) = 161$
   $\implies 16(x^2 + 4x + 4) - 9(y^2 - 6y + 9) = 161 + 64 - 81$
   $\implies 16(x + 2)^2 - 9(y - 3)^2 = 144$

   উভয়পক্ষকে $144$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{(x + 2)^2}{9} - \frac{(y - 3)^2}{16} = 1$

   যা অধিবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ $\frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1$-এর অনুরূপ;
   যেখানে $X = x + 2$, $Y = y - 3$, $a^2 = 9 \implies a = 3$ এবং $b^2 = 16 \implies b = 4$।

   (i) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
   $\text{দৈর্ঘ্য} = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 16}{3} = \frac{32}{3}$

   (ii) নিয়ামকের পাদবিন্দু নির্ণয়:
   অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$

   নিয়ামকের পাদবিন্দুর জন্য,
   $X = \pm \frac{a}{e} \quad \text{এবং} \quad Y = 0$
   $\implies x + 2 = \pm \frac{3}{5/3} = \pm \frac{9}{5}$
   $\implies x = -2 \pm \frac{9}{5}$
   $+$ চিহ্ন নিয়ে পাই, $x = -2 + \frac{9}{5} = -\frac{1}{5}$
   $-$ চিহ্ন নিয়ে পাই, $x = -2 - \frac{9}{5} = -\frac{19}{5}$

   এবং $Y = 0 \implies y - 3 = 0 \implies y = 3$

   সুতরাং, নিয়ামকদ্বয়ের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(-\frac{1}{5}, 3\right)$ এবং $\left(-\frac{19}{5}, 3\right)$।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: Part (ga): The diagram exhibits a contradiction between the visual orientation (vertical directrix) and the written algebraic label (y = 6). The primary solution follows the explicit algebraic label of the standard textbook problem (vertex (2,3) and directrix y = 6), and an alternative solution assumes a typo where the vertical directrix was intended as x = -6.

   দৃশ্যকল্প-২ এর বিশ্লেষণ ও সমাধান:
   চিত্রে পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $A(2, 3)$ এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ $y = 6$ হিসেবে নির্দেশিত রয়েছে।
   (উল্লেখ্য: চিত্রে একটি সাধারণ অনুভূমিক পরাবৃত্তের টেমপ্লেট ব্যবহৃত হলেও প্রদত্ত সমীকরণ $y = 6$ অনুভূমিক রেখা। নিচে মূল গাণিতিক তথ্যানুযায়ী এবং চিত্রানুগ উল্লম্ব রেখার বিকল্প উভয়টিই ব্যাখ্যা করা হলো)

   পদ্ধতি-১ (প্রদত্ত লেবেল $A(2,3)$ এবং নিয়ামক $y = 6$ বিবেচনায়):
   ১. নিয়ামকের সমীকরণ: $y - 6 = 0$
   ২. পরাবৃত্তের অক্ষ নিয়ামকের ওপর লম্ব এবং শীর্ষ $A(2, 3)$ বিন্দুগামী।
   অতএব, অক্ষের সমীকরণ: $x = 2$
   ৩. অক্ষ ও নিয়ামকের ছেদবিন্দু $Z$-এর স্থানাঙ্ক $(2, 6)$।
   ৪. শীর্ষবিন্দু $A(2, 3)$ হলো উপকেন্দ্র $S(\alpha, \beta)$ ও নিয়ামকের পাদবিন্দু $Z(2, 6)$-এর মধ্যবিন্দু।
   $\frac{\alpha + 2}{2} = 2 \implies \alpha = 2$
   $\frac{\beta + 6}{2} = 3 \implies \beta = 0$
   অতএব, উপকেন্দ্র $S(2, 0)$।

   পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুযায়ী, পরাবৃত্তের ওপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে $SP = PM$:
   $\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 0)^2} = \frac{|y - 6|}{\sqrt{0^2 + 1^2}}$
   বর্গ করে পাই,
   $(x - 2)^2 + y^2 = (y - 6)^2$
   $\implies x^2 - 4x + 4 + y^2 = y^2 - 12y + 36$
   $\implies (x - 2)^2 = -12(y - 3) \quad \text{বা,} \quad x^2 - 4x + 12y - 32 = 0$

   ---

   বিকল্প পদ্ধতি (চিত্রানুগ জ্যামিতিক বিন্যাসে নিয়ামকটিকে উল্লম্ব $x = -6$ ধরে):
   যদি নিয়ামক রেখার লেবেল মুদ্রণজনিত কারণে $x = -6$ এর স্থলে $y = 6$ মুদ্রিত হয়ে থাকে:
   অক্ষরেখা $y = 3$, শীর্ষ $A(2, 3)$ এবং নিয়ামক $x = -6$ হলে শীর্ষ থেকে নিয়ামকের দূরত্ব $a = 2 - (-6) = 8$।
   সেক্ষেত্রে পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $(y - 3)^2 = 4 \times 8 \times (x - 2)$
   $\implies (y - 3)^2 = 32(x - 2) \quad \text{বা,} \quad y^2 - 6y - 32x + 73 = 0$