গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ব্যাসার্ধ $r=OL=5$ সে.মি.।

   পরিধি $=2\pi r=2\pi\times5=10\pi\approx31.416$ সে.মি.

   ব্যাস $=2r=10$ সে.মি.

   পরিধি ও ব্যাসের অন্তর $=10\pi-10=10(\pi-1)\approx\mathbf{২১.৪২}$ সে.মি. (প্রায়)।

2. খ)

   প্রমাণ: $O$ বৃত্তের কেন্দ্র; $L, M, N$ বৃত্তের উপর অবস্থিত। প্রমাণ করতে হবে $\angle LMN=\frac{1}{2}$ প্রবৃদ্ধ $\angle LON$।

   অঙ্কন: $MO$ কে বর্ধিত করলে বৃত্তকে $T$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   $OL=OM$ (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OML=\angle OLM$। $\triangle OLM$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle LOT=\angle OML+\angle OLM=2\angle OML$।

   একইভাবে $\triangle OMN$ এ $\angle NOT=2\angle OMN$।

   যোগ করে, প্রবৃদ্ধ $\angle LON=\angle LOT+\angle NOT=2(\angle OML+\angle OMN)=2\angle LMN$।

   অতএব $\angle LMN=\frac{1}{2}$ প্রবৃদ্ধ $\angle LON$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   প্রমাণ: $PLMN$ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, কর্ণ $PM$ ও $LN$ পরস্পরকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $P,N$ যোগ করি।

   একই বৃত্তচাপ $MN$ এর উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle MON$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle MPN$; তাই $\angle MON=2\angle MPN=2\angle EPN$ ...(১)

   একই বৃত্তচাপ $LP$ এর উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle LOP$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle LNP$; তাই $\angle LOP=2\angle LNP=2\angle ENP$ ...(২)

   (১) ও (২) যোগ করে, $\angle MON+\angle LOP=2(\angle EPN+\angle ENP)$ ...(৩)

   $\triangle PEN$ এর বাহু $PE$ কে $M$ পর্যন্ত বর্ধিত করায় বহিঃস্থ কোণ $\angle MEN=\angle EPN+\angle ENP$ ...(৪)

   (৩) ও (৪) থেকে $\angle MON+\angle LOP=2\angle MEN$ (প্রমাণিত)।