গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$-এর $BC$ বাহুকে $D$ পর্যন্ত বাড়ানো হলো। বহিঃস্থ কোণ $\angle ACD$। প্রমাণ করতে হবে, $\angle ACD=\angle BAC+\angle ABC$।

   অঙ্কন: $C$ বিন্দুতে $BA$-এর সমান্তরাল করে $CE$ রেখাংশ আঁকি।

   প্রমাণ: $BA\parallel CE$ এবং $AC$ ছেদক, তাই $\angle ACE=\angle BAC$ (একান্তর কোণ)।

   আবার $BA\parallel CE$ এবং $BD$ ছেদক, তাই $\angle ECD=\angle ABC$ (অনুরূপ কোণ)।

   যোগ করে, $\angle ACE+\angle ECD=\angle BAC+\angle ABC$

   $\therefore\angle ACD=\angle BAC+\angle ABC$। (প্রমাণিত)

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$-এর $QR$ বাহুর মধ্যবিন্দু $M$। দেখাতে হবে, $PQ+PR>2PM$।

   অঙ্কন: $PM$ কে $X$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $MX=PM$ হয়। $R,X$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\triangle PQM$ ও $\triangle XRM$-এ $QM=RM$ ($M$ মধ্যবিন্দু), $PM=XM$ (অঙ্কন) এবং $\angle PMQ=\angle XMR$ (বিপ্রতীপ কোণ)।

   $\therefore\triangle PQM\cong\triangle XRM$, অতএব $PQ=RX$।

   $\triangle PRX$-এ $PR+RX>PX$ (দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর)।

   বা, $PR+PQ>2PM$ [$RX=PQ$ এবং $PX=2PM$]

   $\therefore PQ+PR>2PM$। (দেখানো হলো)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$-এ $\angle Q$ ও $\angle R$-এর সমদ্বিখণ্ডক $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে, $\angle QOR=90^\circ+\dfrac12\angle P$।

   প্রমাণ: $OQ$ ও $OR$ যথাক্রমে $\angle Q$ ও $\angle R$-এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\angle OQR=\dfrac12\angle Q$ এবং $\angle ORQ=\dfrac12\angle R$।

   $\triangle OQR$-এ $\angle QOR=180^\circ-(\angle OQR+\angle ORQ)=180^\circ-\dfrac12(\angle Q+\angle R)$

   ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$, তাই $\angle Q+\angle R=180^\circ-\angle P$।

   $\therefore\angle QOR=180^\circ-\dfrac12(180^\circ-\angle P)=180^\circ-90^\circ+\dfrac12\angle P=90^\circ+\dfrac12\angle P$। (প্রমাণিত)