গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\sec(90° - \theta) = \operatorname{cosec}\theta = \dfrac{13}{5}$

   সুতরাং $\sin\theta = \dfrac{1}{\operatorname{cosec}\theta} =$ $\dfrac{5}{13}$

2. খ)

   চিত্র-১ এ $\triangle PST$ সমকোণী ($\angle S = 90°$), $\angle SPT = 30°$ এবং $ST = 9$ মিটার।

   $\sin 30° = \dfrac{ST}{PT}$, তাই $PT = \dfrac{9}{1/2} = 18$ মিটার

   $\tan 30° = \dfrac{ST}{PS}$, তাই $PS = \dfrac{9}{1/\sqrt{3}} = 9\sqrt{3}$ মিটার

   পরিসীমা $= PS + ST + PT = 9\sqrt{3} + 9 + 18 = 27 + 9\sqrt{3}$

   $= 9(3 + \sqrt{3}) \approx 9 \times 4.732 \approx$ ৪২.৫৯ মিটার।

3. গ)

   চিত্র-২ এ $KL \parallel GH$, $\angle KMG = 60°$ এবং $\angle LMH = 45°$। একান্তর কোণ হিসেবে $\angle MGN = 60°$ এবং $\angle MHN = 45°$। $MN \perp GH$ এবং $GH = 1$ কিমি $= 1000$ মিটার।

   ধরি $MN = h$ মিটার।

   $\triangle MGN$ এ $\tan 60° = \dfrac{h}{GN}$, তাই $GN = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$

   $\triangle MHN$ এ $\tan 45° = \dfrac{h}{NH}$, তাই $NH = h$

   $GN + NH = GH$ থেকে, $\dfrac{h}{\sqrt{3}} + h = 1000$

   বা, $h\left(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right) = 1000$

   বা, $h = \dfrac{1000\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = 500(3 - \sqrt{3})$

   $\approx 500 \times 1.268 = 634$

   অতএব, $MN$ এর দৈর্ঘ্য $500(3 - \sqrt{3})$ মিটার, প্রায় ৬৩৪ মিটার (প্রায় ০.৬৩৪ কিমি)।