গণিত • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩

গণিত প্রশ্ন

msin⁡A=ncos⁡A m \sin A=n \cos A এবং cosec⁡(A−B)=2 \operatorname{cosec}(A-B)=2 , যেখানে, A এবং B সূক্ষ্মকোণ।

  1. ক)

    দেখাও যে, sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ \sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta , যখন θ=30∘ \theta=30^{\circ}

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, sec⁡2A+cosec⁡2Asec⁡2A−cosec⁡2A=n2+m2n2−m2(m≠n) \frac{\sec ^{2} A+\operatorname{cosec}^{2} A}{\sec ^{2} A-\operatorname{cosec}^{2} A}=\frac{n^{2}+m^{2}}{n^{2}-m^{2}}(m \neq n) .

    (2)
  3. গ)

    m=n=1 \mathrm{m}=\mathrm{n}=1 হলে, B এর মান নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    θ=30∘\theta=30^{\circ} হলে বামপক্ষ =sin⁡(2×30∘)=sin⁡60∘=32=\sin(2\times30^{\circ})=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}।
    ডানপক্ষ =2sin⁡30∘cos⁡30∘=2×12×32=32=2\sin30^{\circ}\cos30^{\circ}=2\times\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}।
    ∴\therefore বামপক্ষ == ডানপক্ষ, অর্থাৎ sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    msin⁡A=ncos⁡Am\sin A=n\cos A থেকে tan⁡A=nm\tan A=\frac{n}{m}, তাই sin⁡A=nm2+n2\sin A=\frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}} ও cos⁡A=mm2+n2\cos A=\frac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}।

    বামপক্ষ =1cos⁡2A+1sin⁡2A1cos⁡2A−1sin⁡2A=sin⁡2A+cos⁡2Asin⁡2A−cos⁡2A=1sin⁡2A−cos⁡2A=\frac{\frac{1}{\cos^2A}+\frac{1}{\sin^2A}}{\frac{1}{\cos^2A}-\frac{1}{\sin^2A}}=\frac{\sin^2A+\cos^2A}{\sin^2A-\cos^2A}=\frac{1}{\sin^2A-\cos^2A}।

    sin⁡2A−cos⁡2A=n2−m2m2+n2\sin^2A-\cos^2A=\frac{n^2-m^2}{m^2+n^2}। ∴\therefore বামপক্ষ =m2+n2n2−m2=n2+m2n2−m2==\frac{m^2+n^2}{n^2-m^2}=\frac{n^2+m^2}{n^2-m^2}= ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    m=n=1m=n=1 হলে sin⁡A=cos⁡A\sin A=\cos A, বা tan⁡A=1=tan⁡45∘\tan A=1=\tan45^{\circ}। ∴ A=45∘\therefore\ A=45^{\circ}।

    cosec⁡(A−B)=2\operatorname{cosec}(A-B)=2 থেকে cosec⁡(A−B)=cosec⁡30∘\operatorname{cosec}(A-B)=\operatorname{cosec}30^{\circ}, তাই A−B=30∘A-B=30^{\circ}।
    ∴ B=A−30∘=45∘−30∘=15∘\therefore\ B=A-30^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ}=\mathbf{15^{\circ}}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন