উচ্চতর গণিত • অসীম ধারা (Infinite Series)

উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

∣r∣<1|r|<1 হলে a+ar+ar2+ar3+…a+ar+ar^2+ar^3+\dots অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি যে a1−r\frac{a}{1-r} হয়, তা বুঝিয়ে লেখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর ধারাটির nn তম আংশিক সমষ্টি, r≠1r\neq 1 হলে,

Sn=a(1−rn)1−r=a1−r−arn1−rS_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a}{1-r}-\frac{ar^n}{1-r}

∣r∣<1|r|<1 অর্থাৎ −1<r<1-1<r<1 হলে nn এর মান বৃদ্ধি করলে ∣rn∣|r^n| এর মান হ্রাস পায়। nn কে যথেষ্ট বড় করলে ∣rn∣|r^n| এর মান 00 এর কাছাকাছি হয়, অর্থাৎ rnr^n এর প্রান্তীয় মান 00।

তখন arn1−r\frac{ar^n}{1-r} এর প্রান্তীয় মানও 00 হয়।

ফলে SnS_n এর প্রান্তীয় মান =a1−r= \frac{a}{1-r}

সুতরাং অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি S∞=a1−rS_\infty = \frac{a}{1-r}, যখন ∣r∣<1|r|<1। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো