গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $f(x) = \dfrac{5x - 7}{2x - 3}$
   $f(-2) = \dfrac{5(-2) - 7}{2(-2) - 3} = \dfrac{-17}{-7} = \mathbf{\dfrac{17}{7}}$

2. খ)

   $\dfrac{f(x) + 2}{f(x) - 1} = 2$
   বা, $f(x) + 2 = 2f(x) - 2$
   বা, $f(x) = 4$

   তাহলে $\dfrac{5x - 7}{2x - 3} = 4$
   বা, $5x - 7 = 8x - 12$
   বা, $3x = 5$
   সুতরাং $x = \mathbf{\dfrac{5}{3}}$

3. গ)

   দেওয়া আছে, $A = m^3 + \dfrac{1}{m^3} = 52$। ধরি $m + \dfrac{1}{m} = t$। তাহলে $t^3 - 3t = 52$ বা $t^3 - 3t - 52 = 0$।

   $t = 4$ বসিয়ে পাই, $64 - 12 - 52 = 0$। সুতরাং $(t - 4)$ একটি উৎপাদক:
   $(t - 4)(t^2 + 4t + 13) = 0$

   $t^2 + 4t + 13 = (t+2)^2 + 9 > 0$, তাই বাস্তব মান $t = 4$।

   অর্থাৎ $m + \dfrac{1}{m} = 4$ বা $m^2 - 4m + 1 = 0$
   $m = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

   এর একটি মান $m = 2 + \sqrt{3}$ (অপর মান $2 - \sqrt{3}$ হলো এর অন্যোন্যক)।

   যাচাই: $m = 2 + \sqrt{3}$ হলে $\dfrac{1}{m} = 2 - \sqrt{3}$, $m + \dfrac{1}{m} = 4$, তাই $m^3 + \dfrac{1}{m^3} = 4^3 - 3 \cdot 4 = 52$। (দেখানো হলো)