গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বৃত্তের পরিধি $2\pi r=60$, তাই $r=\dfrac{60}{2\pi}=\dfrac{30}{\pi}$ সে.মি.।

   ক্ষেত্রফল $=\pi r^2=\pi\times\dfrac{900}{\pi^2}=\dfrac{900}{\pi}$।

   $\pi=3.1416$ ধরলে ক্ষেত্রফল $=\dfrac{900}{3.1416}\approx286.48$ বর্গ সে.মি.।

   উত্তর: $\approx286.48$ বর্গ সে.মি.।

2. খ)

   এখানে ভূমি $a=4$ সে.মি., অপর দুই বাহুর অন্তর $\dfrac b2=3$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন কোণ $\angle x=30^\circ$। ধরি ভূমি $BC=4$ সে.মি., $\angle B=30^\circ$ এবং $AB-AC=3$ সে.মি.।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $BC=4$ সে.মি. রেখাংশ আঁকি।
   ২. $B$ বিন্দুতে $\angle CBX=30^\circ$ আঁকি।
   ৩. $BX$ রশ্মি থেকে $BD=3$ সে.মি. কাটি।
   ৪. $C, D$ যোগ করি।
   ৫. $CD$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক আঁকি। এটি $BX$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৬. $A, C$ যোগ করি।

   $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

   প্রমাণ: $A$ বিন্দু $CD$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের উপর, তাই $AD=AC$। $A$ বিন্দু $B$ ও $D$ এর বাইরে $BX$ রশ্মির উপর, তাই $AB-AC=AB-AD=BD=3$ সে.মি.। ভূমি $BC=4$ সে.মি. ও $\angle B=30^\circ$। শর্ত পূরণ হয়েছে।

3. গ)

   এখানে কর্ণদ্বয় $a=4$ সে.মি., $b=6$ সে.মি. এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle x=30^\circ$।

   সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই অর্ধ-কর্ণ $\dfrac a2=2$ সে.মি. ও $\dfrac b2=3$ সে.মি.।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $AC=a=4$ সে.মি. রেখাংশ আঁকি এবং এর মধ্যবিন্দু $O$ নির্ণয় করি ($AO=OC=2$ সে.মি.)।
   ২. $O$ বিন্দুতে $\angle AOP=30^\circ$ আঁকি এবং $PO$ কে বিপরীত দিকে $Q$ পর্যন্ত বাড়াই।
   ৩. $OP$ থেকে $OB=3$ সে.মি. এবং $OQ$ থেকে $OD=3$ সে.মি. কাটি।
   ৪. $A, B$; $B, C$; $C, D$ এবং $D, A$ যোগ করি।

   $ABCD$ ই নির্ণেয় সামান্তরিক।

   প্রমাণ: $AO=OC$ এবং $BO=OD$, অর্থাৎ $ABCD$ এর কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই এটি একটি সামান্তরিক। কর্ণ $AC=4$ সে.মি., $BD=6$ সে.মি. এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ $30^\circ$।