প্রশ্ন ও সমাধান

(3) সম্ভাবনা ফাংশন (Probability function) বা সম্ভাবনা ভর ফাংশন বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের জন্য এবং সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (Probability density function) অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের জন্য ব্যবহৃত হয়।

সম্ভাবনা ফাংশন $p(x)$ এর বৈশিষ্ট্য:
১. সকল $x$ এর জন্য $0 \leq p(x) \leq 1$।
২. মোট সম্ভাবনা এক: $\sum p(x) = 1$।
৩. $p(x) = P(X = x)$, অর্থাৎ নির্দিষ্ট মানের সম্ভাবনা সরাসরি পাওয়া যায়।
৪. কোনো ঘটনার সম্ভাবনা সংশ্লিষ্ট মানগুলোর $p(x)$ যোগ করে পাওয়া যায়।

সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন $f(x)$ এর বৈশিষ্ট্য:
১. সকল $x$ এর জন্য $f(x) \geq 0$ (ঋণাত্মক হয় না; ১-এর বেশি হতে পারে)।
২. রেখার নিচের মোট ক্ষেত্রফল এক: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$।
৩. $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx$, অর্থাৎ সম্ভাবনা ক্ষেত্রফল দিয়ে পাওয়া যায়।
৪. কোনো নির্দিষ্ট মানের সম্ভাবনা শূন্য: $P(X = c) = 0$।
৫. $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$ এবং $f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$।