প্রশ্ন ও সমাধান

(6.1) প্রতিটি পুরস্কার ১০ জন বালকের যেকোনো একজনকে দেওয়া যায় (একজন একাধিক পুরস্কার পেতে পারে)। মোট উপায় $= 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$। উত্তর: ১০০০ ভাবে

(6.2) অন্তর্বিভক্ত বিন্দু ($m:n = 3:5$):
$x = \frac{3\times 9 + 5\times 1}{3+5} = \frac{32}{8} = 4$
$y = \frac{3\times 12 + 5\times 4}{8} = \frac{56}{8} = 7$
উত্তর: $(4, 7)$

(6.3) সমরেখ হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য:
$2[(a-3) - a] + (a+1)[a - 1] + (a+2)[1 - (a-3)] = 0$
$\Rightarrow -6 + (a^2 - 1) + (a+2)(4-a) = 0$
$\Rightarrow -6 + a^2 - 1 - a^2 + 2a + 8 = 0 \Rightarrow 2a + 1 = 0$
উত্তর: $a = -\frac{1}{2}$

(6.4) $y = 7x + 9$ এর ঢাল $7$। লম্ব রেখার ঢাল $= -\frac{1}{7}$। উত্তর: $-\frac{1}{7}$

(6.5) প্রসারণ: $(x-y+3)^2 + (kx+2)(y-1) = x^2 + y^2 + (k-2)xy + (6-k)x - 4y + 7 = 0$। বৃত্ত হতে $xy$ এর সহগ শূন্য হতে হবে: $k - 2 = 0$। উত্তর: $k = 2$

(6.6) $x^2 + y^2 - 16$ এ $(4,-3)$ বসালে $16 + 9 - 16 = 9 > 0$। অতএব বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত।

(6.7) $\cos\theta = \frac{12}{13}$, তাহলে $\sin\theta = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \frac{5}{13}$। $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{5}{12}$ (θ সূক্ষ্মকোণ ধরে)। উত্তর: $\frac{5}{12}$

(6.8) TIME এ স্বরবর্ণ I, E (২টি)। প্রথমে স্বরবর্ণ বসালে ২ উপায়, বাকি ৩টি অক্ষর $3! = 6$ উপায়ে সাজানো যায়। মোট $= 2 \times 6 = 12$। উত্তর: ১২

(6.9) $\frac{2}{x} = t$ ধরলে $x\to\infty$ এ $t\to 0$, এবং $x\sin\frac{2}{x} = \frac{2\sin t}{t}$। তাই সীমা $= 2\times 1 = 2$। উত্তর: ২

(6.10) $y = x^3 - 2x^2 + 2$, $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x$। $x = 2$ এ ঢাল $= 12 - 8 = 4$। স্পর্শক: $y - 2 = 4(x - 2) \Rightarrow y = 4x - 6$, অর্থাৎ $4x - y - 6 = 0$।