উচ্চতর গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর মনে করি $ABCD$ ট্রাপিজিয়ামে $AD\parallel BC$ এবং অসমান্তরাল বাহু $AB$ ও $DC$ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $P$ ও $Q$। প্রমাণ করতে হবে $PQ\parallel AD\parallel BC$ এবং $PQ=\frac12(AD+BC)$।
ত্রিভুজবিধি অনুযায়ী $\vec{PQ}=\vec{PA}+\vec{AD}+\vec{DQ}$ ......(১) এবং $\vec{PQ}=\vec{PB}+\vec{BC}+\vec{CQ}$ ......(২)
(১) ও (২) যোগ করে, $2\vec{PQ}=(\vec{PA}+\vec{PB})+(\vec{DQ}+\vec{CQ})+\vec{AD}+\vec{BC}$।
$P$ মধ্যবিন্দু বলে $\vec{PA}+\vec{PB}=\underline{0}$; $Q$ মধ্যবিন্দু বলে $\vec{DQ}+\vec{CQ}=\underline{0}$।
$\therefore 2\vec{PQ}=\vec{AD}+\vec{BC}$। $AD\parallel BC$ এবং একমুখী বলে $\vec{BC}=k\vec{AD}$ ($k>0$)। সুতরাং $\vec{PQ}=\frac12(1+k)\vec{AD}$, তাই $PQ\parallel AD\parallel BC$ এবং একমুখী হওয়ায় $|\vec{PQ}|=\frac12(|\vec{AD}|+|\vec{BC}|)$, অর্থাৎ $PQ=\frac12(AD+BC)$। (প্রমাণিত)