DU • ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয় বিজ্ঞান ইউনিট (বিভাগ পরিবর্তন) ভর্তি পরীক্ষা ২০২২-২০২৩

প্রশ্ন ও সমাধান

যদি acos⁡α+bsin⁡α=acos⁡β+bsin⁡βa\cos\alpha + b\sin\alpha = a\cos\beta + b\sin\beta হয়, তবে দেখাও যে, cos⁡2α+β2−sin⁡2α+β2=a2−b2a2+b2\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2} - \sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা

(৪) দেওয়া আছে: acos⁡α+bsin⁡α=acos⁡β+bsin⁡βa\cos\alpha+b\sin\alpha=a\cos\beta+b\sin\beta

⇒a(cos⁡α−cos⁡β)=b(sin⁡β−sin⁡α)\Rightarrow a(\cos\alpha-\cos\beta)=b(\sin\beta-\sin\alpha)

ধরি θ=α+β2\theta=\frac{\alpha+\beta}{2} এবং δ=α−β2\delta=\frac{\alpha-\beta}{2}।

তাহলে cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡θsin⁡δ\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\theta\sin\delta এবং sin⁡β−sin⁡α=−2cos⁡θsin⁡δ\sin\beta-\sin\alpha=-2\cos\theta\sin\delta

অতএব −2asin⁡θsin⁡δ=−2bcos⁡θsin⁡δ-2a\sin\theta\sin\delta=-2b\cos\theta\sin\delta

α≠β\alpha\ne\beta হওয়ায় sin⁡δ≠0\sin\delta\ne0, তাই asin⁡θ=bcos⁡θa\sin\theta=b\cos\theta
⇒tan⁡θ=ba\Rightarrow \tan\theta=\frac{b}{a}

এখন
cos⁡2θ−sin⁡2θ=cos⁡2θ=1−tan⁡2θ1+tan⁡2θ=1−b2a21+b2a2=a2−b2a2+b2\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos2\theta=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=\frac{1-\frac{b^2}{a^2}}{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}

অর্থাৎ cos⁡2α+β2−sin⁡2α+β2=a2−b2a2+b2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}-\sin^2\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন