$\int_{}^{} \left ( \frac{1}{1+x^{3}} \right ) dx = ?$

Question

Accepted Answer

খ. $\frac{1}{3}\ln|x+1| - \frac{1}{6}\ln(x^2 - x + 1) + \frac{1}{\sqrt{3}}	an^{-1}\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}ight) + C$

ব্যাখ্যা: $1+x^3=(x+1)(x^2-x+1)$। আংশিক ভগ্নাংশ: $\frac1{1+x^3}=\frac{1/3}{x+1}+\frac{-\frac13x+\frac23}{x^2-x+1}$। দ্বিতীয় অংশে লবকে ভাঙি: $-\frac13x+\frac23=-\frac16(2x-1)+\frac12$। তাই ইন্টিগ্রাল $=\frac13\ln|x+1|-\frac16\ln(x^2-x+1)+\frac12\int\frac{dx}{(x-\frac12)^2+\frac34}$। শেষ অংশ $=\frac1{\sqrt3}	an^{-1}\frac{2x-1}{\sqrt3}$। সুতরাং খ।

**শর্টকাট:** $\frac1{x+1}$ এর সহগ $\frac13$ ধনাত্মক (ধরো $x=-1$ বসালে অবশিষ্ট $\frac13$) এবং $\ln(x^2-x+1)$ এর সহগ ঋণাত্মক ($-\frac16$); এতে শুধু (খ) টিকে।

**একই ধরনের প্রশ্ন:**
১. $\int\frac{dx}{x^2-1}=?$
*উত্তর:* $\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}ight|+C$

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন