গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   সমকোণী $\triangle PQR$-এ $\angle Q=90^{\circ}$, তাই $PR$ অতিভুজ। পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী $PQ^2=PR^2-QR^2=17^2-9^2=289-81=208$। $\therefore\ PQ=\sqrt{208}=4\sqrt{13}\approx\mathbf{14.42}$ সেমি।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$-এ $\angle Q=90^{\circ}$ এবং $\angle R=2\angle P$। প্রমাণ করতে হবে $PR=2QR$।

   প্রমাণ: $\angle P+\angle Q+\angle R=180^{\circ}$ থেকে $\angle P+90^{\circ}+2\angle P=180^{\circ}$, বা $3\angle P=90^{\circ}$। $\therefore\ \angle P=30^{\circ}$ এবং $\angle R=60^{\circ}$।

   সমকোণী ত্রিভুজে $\cos R=\frac{QR}{PR}$, অর্থাৎ $\cos60^{\circ}=\frac{QR}{PR}$। $\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$ বলে $\frac{QR}{PR}=\frac{1}{2}$।

   $\therefore\ PR=2QR$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle PQR$-এ $\angle Q=90^{\circ}$ এবং $T$, অতিভুজ $PR$ এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $\triangle QRT$ সমদ্বিবাহু।

   অঙ্কন: $QR$ এর মধ্যবিন্দু $M$ নিয়ে $TM$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\triangle PQR$-এ $T$ ও $M$ যথাক্রমে $PR$ ও $QR$ এর মধ্যবিন্দু। তাই $TM\parallel PQ$। $\angle PQR=90^{\circ}$ হওয়ায় $\angle TMR=90^{\circ}$ এবং $\angle TMQ=90^{\circ}$।

   এখন $\triangle QTM$ ও $\triangle RTM$-এ
   $QM=MR$ ($M$ মধ্যবিন্দু), $TM=TM$ (সাধারণ বাহু) এবং $\angle TMQ=\angle TMR=90^{\circ}$।
   $\therefore\ \triangle QTM\cong\triangle RTM$ (বাহু-কোণ-বাহু)।
   $\therefore\ QT=RT$।

   সুতরাং $\triangle QRT$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)