গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\tan(90^\circ-3\theta)=1=\tan45^\circ$ বা, $90^\circ-3\theta=45^\circ$ বা, $\theta=15^\circ$।

   $\therefore\sin2\theta=\sin30^\circ=\mathbf{\frac12}$

2. খ)

   $2N^2-3N+1=0$ বা, $(2N-1)(N-1)=0$। $N=\sin A$ বলে $\sin A=\frac12$ বা $\sin A=1$।

   $\sin A=\frac12$ হলে $A=30^\circ$; $\sin A=1$ হলে $A=90^\circ$ যা সূক্ষ্মকোণ নয়।

   $\therefore A=\mathbf{30^\circ}$

3. গ)

   $p^2-q^2=(M+R)^2-(M-R)^2=4MR$, সুতরাং $(p^2-q^2)^2=16M^2R^2$।

   $pq=(M+R)(M-R)=M^2-R^2=\cot^2A-\cos^2A=\frac{\cos^2A}{\sin^2A}-\cos^2A=\frac{\cos^2A(1-\sin^2A)}{\sin^2A}=\frac{\cos^4A}{\sin^2A}=\cos^2A\cot^2A=M^2R^2$

   $\therefore(p^2-q^2)^2=16M^2R^2=16pq$ বা, $(p^2-q^2)^2-16pq=0$ (দেখানো হলো)