গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r=6$ সে.মি.।

   ক্ষেত্রফল $=\pi r^2=\pi\times6^2=36\pi$ বর্গ সে.মি.

   $\pi=3.1416$ ধরে, ক্ষেত্রফল $=36\times3.1416\approx$ ১১৩.১ বর্গ সে.মি.

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $PQ$ ও $RS$ জ্যা, $PQ=RS$, $OM\perp PQ$ এবং $ON\perp RS$। প্রমাণ করতে হবে, $OM=ON$।

   অঙ্কন: $O,P$ এবং $O,R$ যোগ করি।

   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $PM=\dfrac12PQ$ এবং $RN=\dfrac12RS$। যেহেতু $PQ=RS$, তাই $PM=RN$।

   সমকোণী $\triangle OPM$ ও $\triangle ORN$-এ

   • অতিভুজ $OP=$ অতিভুজ $OR$ (ব্যাসার্ধ)
   • $PM=RN$

   $\therefore\triangle OPM\cong\triangle ORN$ (অতিভুজ-বাহু)। অতএব $OM=ON$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু $P$ থেকে $PE$ ও $PF$ দুটি স্পর্শক, $E,F$ স্পর্শবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে, $OP$ রেখাংশ $EF$-এর লম্বদ্বিখণ্ডক।

   অঙ্কন: $O,E$; $O,F$ যোগ করি। ধরি, $OP$ রেখাংশ $EF$-কে $G$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   প্রমাণ: স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের ওপর লম্ব, তাই $\angle OEP=\angle OFP=90^\circ$।

   সমকোণী $\triangle OEP$ ও $\triangle OFP$-এ $OE=OF$ (ব্যাসার্ধ), অতিভুজ $OP$ সাধারণ।

   $\therefore\triangle OEP\cong\triangle OFP$ (অতিভুজ-বাহু)। অতএব $PE=PF$ এবং $\angle EOP=\angle FOP$।

   এখন $\triangle OEG$ ও $\triangle OFG$-এ $OE=OF$, $\angle EOG=\angle FOG$ এবং $OG$ সাধারণ।

   $\therefore\triangle OEG\cong\triangle OFG$ (বাহু-কোণ-বাহু)। অতএব $EG=FG$ এবং $\angle OGE=\angle OGF$।

   $\angle OGE+\angle OGF=180^\circ$ (সরলকোণ), তাই $\angle OGE=\angle OGF=90^\circ$।

   সুতরাং $OP$ রেখাংশ $EF$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং লম্বভাবে ছেদ করে। অতএব $OP$ হলো $EF$-এর লম্বদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)