গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   চিত্রে $O$ বিন্দু $MP$ এর উপর অবস্থিত, তাই $MP$ বৃত্তের ব্যাস। ব্যাস $MP = 2 \times 3.5 = 7$ সে.মি.।

   অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ, তাই $\angle MLP = 90^\circ$।
   সমকোণী $\triangle MLP$ এ $LM^2 = MP^2 - LP^2 = 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33$
   সুতরাং $LM = \mathbf{\sqrt{33}}$ সে.মি. $\approx 5.74$ সে.মি.

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $LMNP$ অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। প্রমাণ করতে হবে $\angle LMN + \angle LPN = 180^\circ$।

   অঙ্কন: $O, L$ এবং $O, N$ যুক্ত করি।

   প্রমাণ: $LN$ চাপের (যাতে $P$ আছে) উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle LON = \alpha$ হলে $M$ বিন্দুতে বৃত্তস্থ কোণ $\angle LMN = \dfrac{\alpha}{2}$।
   অপর চাপের (যাতে $M$ আছে) উপর কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ $= 360^\circ - \alpha$ এবং $P$ বিন্দুতে বৃত্তস্থ কোণ $\angle LPN = \dfrac{360^\circ - \alpha}{2}$।

   যোগ করে, $\angle LMN + \angle LPN = \dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{360^\circ - \alpha}{2} = 180^\circ$। (দেখানো হলো)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $C$ বিন্দু থেকে বৃত্তের $N$ ও $P$ বিন্দুতে $CN$ ও $CP$ স্পর্শক। প্রমাণ করতে হবে $CO$ স্পর্শ জ্যা $PN$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক।

   অঙ্কন: $O, N$ এবং $O, P$ যুক্ত করি।

   প্রমাণ: $\angle ONC = \angle OPC = 90^\circ$ (স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব)।
   সমকোণী $\triangle ONC$ ও $\triangle OPC$ এ অতিভুজ $OC$ সাধারণ এবং $ON = OP$ (ব্যাসার্ধ)। তাই $\triangle ONC \cong \triangle OPC$, ফলে $CN = CP$।

   $ON = OP$ এবং $CN = CP$, তাই $O$ ও $C$ উভয় বিন্দুই $N$ ও $P$ থেকে সমদূরবর্তী। সুতরাং $O$ ও $C$ বিন্দু $PN$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত।

   অতএব $CO$ রেখাংশ স্পর্শ জ্যা $PN$ এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)