গণিত • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২৬

গণিত প্রশ্ন

x=csc⁡θx = \csc\theta, y=sec⁡θy = \sec\theta এবং z=tan⁡θz = \tan\theta ; যখন θ\theta সূক্ষ্মকোণ।

  1. ক)

    tan⁡(90∘−A)=3\tan(90^{\circ}-A) = \sqrt{3} হলে, AA এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    x+1z=ax + \frac{1}{z} = a হলে, প্রমাণ কর যে, cos⁡θ=a2−1a2+1\cos\theta = \frac{a^2-1}{a^2+1}.

    (2)
  3. গ)

    1x+1y=2\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \sqrt{2} হলে, θ\theta এর মান নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    tan⁡(90∘−A)=cot⁡A=3=cot⁡30∘\tan(90^\circ-A)=\cot A=\sqrt3=\cot30^\circ

    ∴A=30∘\therefore A=\mathbf{30^\circ}

  2. খ)

    x+1z=cosecθ+cot⁡θ=ax+\frac1z=\text{cosec}\theta+\cot\theta=a ... (১)

    cosec2θ−cot⁡2θ=1\text{cosec}^2\theta-\cot^2\theta=1 থেকে cosecθ−cot⁡θ=1a\text{cosec}\theta-\cot\theta=\frac1a ... (২)

    (১) + (২): 2 cosecθ=a+1a=a2+1a2\,\text{cosec}\theta=a+\frac1a=\frac{a^2+1}a বা, cosecθ=a2+12a\text{cosec}\theta=\frac{a^2+1}{2a}

    (১) − (২): 2cot⁡θ=a−1a=a2−1a2\cot\theta=a-\frac1a=\frac{a^2-1}a বা, cot⁡θ=a2−12a\cot\theta=\frac{a^2-1}{2a}

    cos⁡θ=cot⁡θ÷cosecθ=a2−12a×2aa2+1=a2−1a2+1\cos\theta=\cot\theta\div\text{cosec}\theta=\frac{a^2-1}{2a}\times\frac{2a}{a^2+1}=\frac{a^2-1}{a^2+1} (প্রমাণিত)

  3. গ)

    1x+1y=sin⁡θ+cos⁡θ=2\frac1x+\frac1y=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2

    বর্গ করে, sin⁡2θ+cos⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ=2\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta=2 বা, 2sin⁡θcos⁡θ=12\sin\theta\cos\theta=1

    তাহলে (sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2sin⁡θcos⁡θ=0(\sin\theta-\cos\theta)^2=1-2\sin\theta\cos\theta=0 বা, sin⁡θ=cos⁡θ\sin\theta=\cos\theta বা, tan⁡θ=1=tan⁡45∘\tan\theta=1=\tan45^\circ

    ∴θ=45∘\therefore\theta=\mathbf{45^\circ}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন