গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $7x^2 - x - 116 = 7x^2 + 28x - 29x - 116 = 7x(x+4) - 29(x+4) = \mathbf{(x+4)(7x-29)}$।

2. খ)

   $x^2 = 5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$, তাই $x = \sqrt{3}+\sqrt{2}$ ($x$ ধনাত্মক ধরে) এবং $\dfrac{1}{x} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$।
   তাই $x + \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{3}$ এবং $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = (5+2\sqrt{6}) + (5-2\sqrt{6}) = 10$।
   $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = (2\sqrt{3})^3 - 3\cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$
   এখন $\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right) = x^5 + \dfrac{1}{x^5} + x + \dfrac{1}{x}$
   তাই $x^5 + \dfrac{1}{x^5} = 10\times 18\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 180\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \mathbf{178\sqrt{3}}$।

3. গ)

   $a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$
   তাই $8 = 4(a^2 - ab + b^2)$ বা $a^2 - ab + b^2 = 2$ ...(১)
   আবার $a^2 + ab + b^2 = 4$ ...(২)
   (১) + (২): $2(a^2+b^2) = 6$ বা $a^2 + b^2 = 3$
   (২) − (১): $2ab = 2$ বা $ab = 1$
   $(a^2 - b^2)^2 = (a^2+b^2)^2 - 4a^2b^2 = 9 - 4 = 5$, তাই $a^2 - b^2 = \sqrt{5}$ ($a > b > 0$ ধরে)
   $a^4 - b^4 = (a^2+b^2)(a^2-b^2) = 3\sqrt{5}$
   অতএব, $8(a^4 - b^4) = 24\sqrt{5}$। (প্রমাণিত)