গণিত • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২০

গণিত প্রশ্ন

চিত্রে, ND=OD,∠PNR=∠ONR \mathrm{ND}=\mathrm{OD}, \angle \mathrm{PNR}=\angle \mathrm{ONR} এবং ∠QOR=∠NOR \angle \mathrm{QOR}=\angle \mathrm{NOR} .

  1. ক)

    যদি ∠PNR=55∘ \angle \mathrm{PNR}=55^{\circ} এবং MN=MO \mathrm{MN}=\mathrm{MO} হয়, তবে ∠NMO \angle \mathrm{NMO} এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, MN+MO>2MDMN+MO > 2MD

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, 2∠NRO+∠NMO=180∘ 2 \angle \mathrm{NRO}+\angle \mathrm{NMO}=180^{\circ}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    চিত্র অনুযায়ী ∠PNR=∠ONR=55∘\angle PNR=\angle ONR=55^\circ, তাই ∠PNO=55∘+55∘=110∘\angle PNO=55^\circ+55^\circ=110^\circ।

    P,N,MP,N,M একই সরলরেখায় বলে ∠MNO=180∘−110∘=70∘\angle MNO=180^\circ-110^\circ=70^\circ।

    MN=MOMN=MO বলে ∠MON=∠MNO=70∘\angle MON=\angle MNO=70^\circ।

    △MNO\triangle MNO-এ ∠NMO=180∘−(70∘+70∘)=40∘\angle NMO=180^\circ-(70^\circ+70^\circ)=\mathbf{40^\circ}

  2. খ)

    বিশেষ নির্বচন: △MNO\triangle MNO-এ DD বাহু NONO-এর মধ্যবিন্দু (ND=ODND=OD)। প্রমাণ করতে হবে MN+MO>2MDMN+MO>2MD।

    অঙ্কন: MDMD কে EE পর্যন্ত বাড়াই যেন DE=MDDE=MD হয়। O,EO,E যোগ করি।

    প্রমাণ: △MND\triangle MND ও △EOD\triangle EOD-এ, ND=ODND=OD, MD=EDMD=ED এবং বিপ্রতীপ কোণ ∠MDN=∠EDO\angle MDN=\angle EDO।

    ∴△MND≅△EOD\therefore\triangle MND\cong\triangle EOD (বাহু-কোণ-বাহু); তাই MN=OEMN=OE।

    △MOE\triangle MOE-এ MO+OE>MEMO+OE>ME (দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর)।

    ME=2MDME=2MD এবং OE=MNOE=MN বসিয়ে, MO+MN>2MDMO+MN>2MD (প্রমাণিত)

  3. গ)

    বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ∠PNR=∠ONR=α\angle PNR=\angle ONR=\alpha এবং ∠QOR=∠NOR=β\angle QOR=\angle NOR=\beta। প্রমাণ করতে হবে 2∠NRO+∠NMO=180∘2\angle NRO+\angle NMO=180^\circ।

    প্রমাণ: P,N,MP,N,M এবং M,O,QM,O,Q সরলরেখা। তাই ∠MNO=180∘−∠PNO=180∘−2α\angle MNO=180^\circ-\angle PNO=180^\circ-2\alpha এবং ∠MON=180∘−∠QON=180∘−2β\angle MON=180^\circ-\angle QON=180^\circ-2\beta।

    △MNO\triangle MNO-এ, ∠NMO=180∘−∠MNO−∠MON=180∘−(180∘−2α)−(180∘−2β)=2α+2β−180∘\angle NMO=180^\circ-\angle MNO-\angle MON=180^\circ-(180^\circ-2\alpha)-(180^\circ-2\beta)=2\alpha+2\beta-180^\circ ... (১)

    △NRO\triangle NRO-এ, ∠NRO=180∘−∠RNO−∠NOR=180∘−α−β\angle NRO=180^\circ-\angle RNO-\angle NOR=180^\circ-\alpha-\beta

    বা, 2∠NRO=360∘−2α−2β2\angle NRO=360^\circ-2\alpha-2\beta ... (২)

    (১) ও (২) যোগ করে, 2∠NRO+∠NMO=360∘−2α−2β+2α+2β−180∘=180∘2\angle NRO+\angle NMO=360^\circ-2\alpha-2\beta+2\alpha+2\beta-180^\circ=180^\circ (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন