গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ক্ষেত্রফল $\pi r^2 = 100$ বা $r^2 = \dfrac{100}{\pi}$, তাই $r = \dfrac{10}{\sqrt{\pi}} \approx \mathbf{5.64}$ সেমি।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$ এ $M$ ও $N$ যথাক্রমে $AB$ ও $AC$ এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে $MN \parallel BC$।
   অঙ্কন: $MN$ কে $P$ পর্যন্ত বর্ধিত করি যাতে $NP = MN$ হয়। $C, P$ যোগ করি।
   প্রমাণ: $\triangle AMN$ ও $\triangle CPN$ এ $AN = CN$, $MN = NP$ এবং $\angle ANM = \angle CNP$ (বিপ্রতীপ কোণ)। তাই $\triangle AMN \cong \triangle CPN$।
   তাই $AM = CP$ এবং $\angle MAN = \angle NCP$, ফলে $AB \parallel CP$ (একান্তর কোণ সমান)।
   $AM = MB$ হওয়ায় $MB = CP$ এবং $MB \parallel CP$, তাই $MBCP$ সামান্তরিক। অতএব $MP \parallel BC$, অর্থাৎ $MN \parallel BC$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$ এ $AB > AC$ এবং $\angle A$ এর সমদ্বিখণ্ডক $BC$ কে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে $\angle APC$ সূক্ষ্মকোণ।
   প্রমাণ: $AB > AC$ হওয়ায় $\angle C > \angle B$ (বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তর)।
   $\triangle ABP$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle APC = \angle B + \dfrac{1}{2}\angle A$ ...(১)
   $\triangle ACP$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle APB = \angle C + \dfrac{1}{2}\angle A$ ...(২)
   $\angle C > \angle B$ হওয়ায় (১) ও (২) থেকে $\angle APC < \angle APB$।
   কিন্তু $\angle APC + \angle APB = 180^\circ$, তাই $\angle APC < 90^\circ$।
   অতএব, $\angle APC$ সূক্ষ্মকোণ। (প্রমাণিত)