গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 3.1416 \times 4^2 = 3.1416 \times 16 =$ ৫০.২৭ বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $P$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ ও $CD$ দুটি জ্যা এবং $AB = CD$। প্রমাণ করতে হবে যে $P$ থেকে $AB$ ও $CD$ এর দূরত্ব সমান।

   অঙ্কন: $P$ থেকে $AB$ ও $CD$ এর ওপর যথাক্রমে $PM$ ও $PN$ লম্ব আঁকি। $PA$ ও $PC$ যোগ করি।

   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই $AM = \dfrac{1}{2}AB$ এবং $CN = \dfrac{1}{2}CD$। যেহেতু $AB = CD$, তাই $AM = CN$।

   $\triangle PAM$ ও $\triangle PCN$ সমকোণী ত্রিভুজে,

   অতিভুজ $PA =$ অতিভুজ $PC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

   $AM = CN$

   সুতরাং $\triangle PAM \cong \triangle PCN$ (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)

   অতএব, $PM = PN$। অর্থাৎ $P$ থেকে $AB$ ও $CD$ এর দূরত্ব সমান (প্রমাণিত)।

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $P$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ ও $CD$ জ্যা দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরে $Q$ বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করেছে, অর্থাৎ $\angle AQD = 90°$। প্রমাণ করতে হবে $\angle APC + \angle BPD = 2$ সমকোণ।

   অঙ্কন: $A, D$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $AC$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle APC$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle ADC$। তাই $\angle ADC = \dfrac{1}{2}\angle APC$ ... (i)

   $BD$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BPD$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle BAD$। তাই $\angle BAD = \dfrac{1}{2}\angle BPD$ ... (ii)

   $\triangle AQD$ এ $\angle AQD = 90°$, সুতরাং $\angle QAD + \angle QDA = 90°$

   $Q$ বিন্দু $AB$ ও $CD$ এর ওপর থাকায় $\angle QAD = \angle BAD$ এবং $\angle QDA = \angle ADC$।

   অতএব, $\angle BAD + \angle ADC = 90°$

   বা, $\dfrac{1}{2}\angle BPD + \dfrac{1}{2}\angle APC = 90°$ ((i) ও (ii) থেকে)

   বা, $\angle APC + \angle BPD = 180° = 2$ সমকোণ (প্রমাণিত)।