গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধারা $5+8+11+\cdots$-এর $a=5$, $d=3$।

   $a+(n-1)d=383$ বা, $5+3(n-1)=383$ বা, $3(n-1)=378$ বা, $n-1=126$

   $\therefore n=\mathbf{127}$; অর্থাৎ $127$-তম পদ $383$।

2. খ)

   মনে করি, প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অনুপাত $r$। ৩য় পদ $ar^2=\frac1{\sqrt3}$ এবং ৮ম পদ $ar^7=\frac1{27}$।

   ভাগ করে, $r^5=\frac{1}{27}\times\sqrt3=\frac{\sqrt3}{27}=3^{\frac12-3}=3^{-\frac52}=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^5$ বা, $r=\frac1{\sqrt3}$।

   $a\times\frac13=\frac1{\sqrt3}$ বা, $a=\sqrt3$।

   $\therefore$ গুণোত্তর ধারাটি: $\mathbf{\sqrt3+1+\frac1{\sqrt3}+\frac1{3}+\cdots}$

3. গ)

   মনে করি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $a$ ও সাধারণ অন্তর $d$।

   $S_{10}=\frac{10}2(2a+9d)=155$ বা, $2a+9d=31$ ... (১)

   $S_{20}=\frac{20}2(2a+19d)=610$ বা, $2a+19d=61$ ... (২)

   (২) − (১): $10d=30$ বা, $d=3$। (১) থেকে $2a+27=31$ বা, $a=2$।

   $30$-তম পদ $=a+29d=2+29\times3=2+87=\mathbf{89}$