গণিত • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২০

গণিত প্রশ্ন

  1. ক)

    যদি ∠QPR=37∘ \angle \mathrm{QPR}=37^{\circ} হয়, তবে ∠PRS \angle \mathrm{PRS} এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    উদ্দীপকের আলোকে পীথাগোরাসের উপপাদ্যটি প্রমাণ কর ।

    (2)
  3. গ)

    যদি M, PR এর উপর যে কোনো বিন্দু এবং PQ = RQ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, PM2+RM2=2MQ2 \mathrm{PM}^{2}+\mathrm{RM}^{2}=2 \mathrm{MQ}^{2}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    চিত্রে △PQR\triangle PQR এর ∠PQR=90°\angle PQR = 90° এবং SS বিন্দু QRQR এর বর্ধিতাংশে অবস্থিত। ∠PRS\angle PRS হলো △PQR\triangle PQR এর বহিঃস্থ কোণ।

    বহিঃস্থ কোণ == বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুটির সমষ্টি।

    অতএব, ∠PRS=∠PQR+∠QPR=90°+37°=\angle PRS = \angle PQR + \angle QPR = 90° + 37° = 127°127°।

  2. খ)

    বিশেষ নির্বচন: △PQR\triangle PQR এ ∠PQR=90°\angle PQR = 90°। প্রমাণ করতে হবে PR2=PQ2+QR2PR^2 = PQ^2 + QR^2।

    অঙ্কন: QQ থেকে অতিভুজ PRPR এর ওপর QTQT লম্ব আঁকি।

    প্রমাণ: △PQT\triangle PQT ও △PQR\triangle PQR এ ∠P\angle P সাধারণ এবং ∠PTQ=∠PQR=90°\angle PTQ = \angle PQR = 90°। তাই ত্রিভুজ দুটি সদৃশ।

    অতএব, PTPQ=PQPR\dfrac{PT}{PQ} = \dfrac{PQ}{PR}, বা PQ2=PT⋅PRPQ^2 = PT \cdot PR ... (i)

    একইভাবে △QRT\triangle QRT ও △PQR\triangle PQR সদৃশ। অতএব, RTQR=QRPR\dfrac{RT}{QR} = \dfrac{QR}{PR}, বা QR2=RT⋅PRQR^2 = RT \cdot PR ... (ii)

    (i) ও (ii) যোগ করে, PQ2+QR2=PR(PT+RT)=PR⋅PR=PR2PQ^2 + QR^2 = PR(PT + RT) = PR \cdot PR = PR^2

    অতএব, PR2=PQ2+QR2PR^2 = PQ^2 + QR^2 (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    বিশেষ নির্বচন: △PQR\triangle PQR এ ∠PQR=90°\angle PQR = 90°, PQ=RQPQ = RQ এবং MM অতিভুজ PRPR এর ওপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে PM2+RM2=2MQ2PM^2 + RM^2 = 2MQ^2।

    অঙ্কন: QQ থেকে PRPR এর ওপর QTQT লম্ব আঁকি।

    প্রমাণ: PQ=RQPQ = RQ এবং ∠Q=90°\angle Q = 90° বলে ∠QPR=∠QRP=45°\angle QPR = \angle QRP = 45°।

    △PQT\triangle PQT ও △RQT\triangle RQT এ PQ=RQPQ = RQ, QTQT সাধারণ এবং ∠PTQ=∠RTQ=90°\angle PTQ = \angle RTQ = 90°। তাই △PQT≅△RQT\triangle PQT \cong \triangle RQT (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)। অতএব, PT=RTPT = RT।

    আবার △PQT\triangle PQT এ ∠QPT=45°\angle QPT = 45° ও ∠PTQ=90°\angle PTQ = 90°, তাই ∠PQT=45°\angle PQT = 45°। সুতরাং QT=PTQT = PT। অতএব, PT=RT=QTPT = RT = QT।

    ধরি TM=dTM = d। MM বিন্দু TT এর একপাশে থাকলে PM=PT+dPM = PT + d এবং RM=RT−d=PT−dRM = RT - d = PT - d (অন্যপাশে হলে বিপরীত, ফল একই)।

    PM2+RM2=(PT+d)2+(PT−d)2=2PT2+2d2PM^2 + RM^2 = (PT + d)^2 + (PT - d)^2 = 2PT^2 + 2d^2

    কিন্তু △QTM\triangle QTM এ MQ2=QT2+TM2=PT2+d2MQ^2 = QT^2 + TM^2 = PT^2 + d^2

    অতএব, PM2+RM2=2(PT2+d2)=2MQ2PM^2 + RM^2 = 2(PT^2 + d^2) = 2MQ^2 (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন