উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর মনে করি, $P(n):\ 4^n-1$ রাশিটি $3$ দ্বারা বিভাজ্য।
মূল ধারণা: $n=1$ হলে $4^1-1=3$, যা $3$ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং $P(1)$ সত্য।
আরোহ কল্পনা: ধরি, $n=k$ এর জন্য $P(k)$ সত্য, অর্থাৎ $4^k-1=3m$ ($m$ একটি পূর্ণসংখ্যা)। তাহলে $4^k=3m+1$।
আরোহ স্তর: $4^{k+1}-1=4\cdot 4^k-1=4(3m+1)-1=12m+3=3(4m+1)$, যা $3$ দ্বারা বিভাজ্য। অতএব $P(k+1)$ সত্য।
সুতরাং, আরোহ বিধি অনুযায়ী সকল $n\in\mathbb{N}$ এর জন্য $4^n-1$ রাশিটি $3$ দ্বারা বিভাজ্য। (প্রমাণিত)