গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ ব্যাস এবং $\angle ACB$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে $\angle ACB=90^{\circ}$।

   প্রমাণ: $AB$ ব্যাস বলে $\angle AOB=180^{\circ}$ (সরল কোণ)। একই চাপ $AB$ এর উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $=2\times$ বৃত্তস্থ কোণ। তাই $\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}\times180^{\circ}=90^{\circ}$। অর্থাৎ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB=CD$। কেন্দ্র থেকে $OM\perp AB$ এবং $ON\perp CD$। প্রমাণ করতে হবে $OM=ON$।

   অঙ্কন: $OA$ ও $OC$ যোগ করি।

   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই $AM=\frac{1}{2}AB$ এবং $CN=\frac{1}{2}CD$। $AB=CD$ হওয়ায় $AM=CN$।

   এখন সমকোণী $\triangle OAM$ ও $\triangle OCN$-এ
   অতিভুজ $OA=$ অতিভুজ $OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ), $AM=CN$ এবং $\angle OMA=\angle ONC=90^{\circ}$।
   $\therefore\ \triangle OAM\cong\triangle OCN$ (অতিভুজ-বাহু)।
   $\therefore\ OM=ON$। অর্থাৎ $O$ থেকে $AB$ ও $CD$ সমদূরবর্তী। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ ও $CD$ জ্যা দুইটি $E$ বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে, অর্থাৎ $\angle AEC=90^{\circ}$। প্রমাণ করতে হবে $\angle AOD+\angle BOC=180^{\circ}$।

   অঙ্কন: $AC$ যোগ করি।

   প্রমাণ:
   চাপ $AD$ এর উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOD$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACD$। তাই $\angle AOD=2\angle ACD$। ...(১)
   চাপ $BC$ এর উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle BOC$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle BAC$। তাই $\angle BOC=2\angle BAC$। ...(২)

   (১) ও (২) যোগ করে পাই, $\angle AOD+\angle BOC=2(\angle ACD+\angle BAC)=2(\angle ACE+\angle CAE)$।

   সমকোণী $\triangle AEC$-এ $\angle AEC=90^{\circ}$, তাই $\angle ACE+\angle CAE=90^{\circ}$।

   $\therefore\ \angle AOD+\angle BOC=2\times90^{\circ}=180^{\circ}=$ দুই সমকোণ। (প্রমাণিত)