গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহু $a$ সে.মি.। সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা ভূমির উপর লম্ব, তাই মধ্যমা $=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

   শর্ত অনুযায়ী $\frac{\sqrt{3}}{2}a=3\Rightarrow a=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\approx3.46$

   বাহুর দৈর্ঘ্য $\mathbf{2\sqrt{3}}$ সে.মি. (প্রায় $৩.৪৬$ সে.মি.)।

2. খ)

   প্রমাণ: $AD$, $BE$, $CF$ মধ্যমা, তাই $D, E, F$ যথাক্রমে $BC$, $CA$, $AB$ এর মধ্যবিন্দু।

   অঙ্কন: $AD$ কে $G$ পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন $DG=AD$ হয়; $C,G$ যোগ করি।

   $\triangle ABD$ ও $\triangle CDG$ এ $BD=DC$, $AD=DG$ এবং $\angle ADB=\angle CDG$ (বিপ্রতীপ কোণ)। তাই $\triangle ABD\cong\triangle CDG$, অতএব $CG=AB$।

   $\triangle ACG$ এ $AC+CG>AG$, অর্থাৎ $AC+AB>2AD$।

   একইভাবে $AB+BC>2BE$ এবং $BC+CA>2CF$।

   যোগ করে $2(AB+BC+CA)>2(AD+BE+CF)$

   অতএব $AD+BE+CF<AB+BC+AC$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   প্রমাণ: $AP$ কোণ $A$ এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\angle BAP=\angle PAC=\frac{1}{2}\angle A$।

   $\triangle APC$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle APB=\angle PAC+\angle C=\frac{1}{2}\angle A+\angle C$ ...(১)

   $AB>AC$ হওয়ায় বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তর, অর্থাৎ $\angle C>\angle B$। তাই $\angle C>\frac{\angle B+\angle C}{2}$।

   (১) থেকে $\angle APB>\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B+\angle C)=\frac{1}{2}\times180^\circ=90^\circ$

   অতএব $\angle APB$ স্থূলকোণ (প্রমাণিত)।