গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $O$ কেন্দ্র নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি এবং এর উপর একটি বিন্দু $P$ নিই।
   ২. $O, P$ যোগ করে $OP$ কে $Q$ পর্যন্ত বর্ধিত করি।
   ৩. $P$ কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে $OQ$ এর দুই পাশে $A$ ও $B$ কাটি।
   ৪. $A$ ও $B$ কে কেন্দ্র করে $AP$ এর চেয়ে বড় সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একই পাশে দুইটি চাপ আঁকি, যারা $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৫. $C, D$ যোগ করে উভয় দিকে বাড়াই। $CD$ রেখাই $P$ বিন্দুতে নির্ণেয় স্পর্শক।

2. খ)

   এখানে $\angle MLN + \angle NLK = \angle MLK$, কারণ $KLMN$ চতুর্ভুজের কর্ণ $LN$ কোণ $\angle KLM$ এর ভিতরে থাকে।

   প্রমাণ:
   ১. শর্তমতে $\angle MLK = \angle MLN + \angle NLK = 90^\circ$।
   ২. $\angle MLK$ হলো $MK$ চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ। এই চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ, অর্থাৎ $\angle MOK = 2 \times 90^\circ = 180^\circ$।
   ৩. $\angle MOK = 180^\circ$ হওয়ায় $MO$ ও $OK$ একই সরলরেখায় থাকে। অতএব $M, O$ এবং $K$ একই সরলরেখায় অবস্থিত। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $KLMN$ অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। প্রমাণ করতে হবে, $\angle LMN + \angle LKN = 180^\circ$।

   অঙ্কন: $O, L$ এবং $O, N$ যোগ করি।

   প্রমাণ:
   ১. $LKN$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ (প্রবৃদ্ধ) $= 2\angle LMN$, কারণ $\angle LMN$ ওই চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ।
   ২. $LMN$ চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ $= 2\angle LKN$, কারণ $\angle LKN$ ওই চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ।
   ৩. দুইটি চাপ মিলে সম্পূর্ণ বৃত্ত গঠন করে, তাই কেন্দ্রস্থ কোণদ্বয়ের যোগফল $360^\circ$।

   $2\angle LMN + 2\angle LKN = 360^\circ$

   $\therefore \angle LMN + \angle LKN = 180^\circ$। (প্রমাণিত)