গণিত • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২০

গণিত প্রশ্ন

△PQR \triangle \mathrm{PQR} একটি সমবাহু ত্রিভুজ। PM⊥QR \mathrm{PM} \perp \mathrm{QR} এবং ∠Q \angle \mathrm{Q} ও ∠R \angle \mathrm{R} এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। -

  1. ক)

    P=12 \mathrm{P}=12 সে. মি., P4 \frac{\mathrm{P}}{4} বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁক।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, 4PM2=3PQ2 4 \mathrm{PM}^{2}=3 \mathrm{PQ}^{2} .

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, ∠QOR=90∘+12∠P \angle \mathrm{QOR}=90^{\circ}+\frac{1}{2} \angle \mathrm{P} .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    P=12P=12 সে.মি., তাই P4=3\dfrac P4=3 সে.মি.। অর্থাৎ ৩ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ আঁকতে হবে।

    অঙ্কনের বিবরণ:
    ১. BC=3BC=3 সে.মি. আঁকি।
    ২. BB ও CC কে কেন্দ্র করে 33 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে BCBC এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। চাপদ্বয় AA বিন্দুতে ছেদ করে।
    ৩. A,BA,B ও A,CA,C যোগ করি।

    তাহলে △ABC\triangle ABC নির্ণেয় সমবাহু ত্রিভুজ।

  2. খ)

    △PQR\triangle PQR সমবাহু এবং PM⊥QRPM\perp QR। সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে ভূমির উপর লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই QM=12QR=12PQQM=\dfrac12QR=\dfrac12PQ (PQ=QRPQ=QR)।

    সমকোণী △PQM\triangle PQM এ, PM2=PQ2−QM2=PQ2−PQ24=34PQ2PM^2=PQ^2-QM^2=PQ^2-\dfrac{PQ^2}4=\dfrac34PQ^2

    বা, 4PM2=3PQ24PM^2=3PQ^2। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    △QOR\triangle QOR এ OQOQ ও OROR যথাক্রমে ∠Q\angle Q ও ∠R\angle R এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই ∠OQR=12∠Q\angle OQR=\dfrac12\angle Q এবং ∠ORQ=12∠R\angle ORQ=\dfrac12\angle R।

    ∠QOR=180∘−(∠OQR+∠ORQ)=180∘−12(∠Q+∠R)\angle QOR=180^\circ-(\angle OQR+\angle ORQ)=180^\circ-\dfrac12(\angle Q+\angle R)

    △PQR\triangle PQR এ ∠Q+∠R=180∘−∠P\angle Q+\angle R=180^\circ-\angle P

    ∴∠QOR=180∘−12(180∘−∠P)=180∘−90∘+12∠P=90∘+12∠P\therefore\angle QOR=180^\circ-\dfrac12(180^\circ-\angle P)=180^\circ-90^\circ+\dfrac12\angle P=90^\circ+\dfrac12\angle P। (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন