গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   প্রমাণ: $\frac{1}{1+\cos^2A}+\frac{1}{1+\sec^2A}=\frac{1}{1+\cos^2A}+\frac{1}{1+\frac{1}{\cos^2A}}=\frac{1}{1+\cos^2A}+\frac{\cos^2A}{\cos^2A+1}=\frac{1+\cos^2A}{1+\cos^2A}=1$ (প্রমাণিত)

2. খ)

   মনে করি, মিনার $AB$-এর শীর্ষ $A$, ভূতলের বিন্দু $C$; $AC=16$ মি. এবং অবনতি কোণ $=\angle ACB=30^\circ$ (একান্তর কোণ)।

   সমকোণী $\triangle ABC$-এ $\sin30^\circ=\frac{AB}{AC}$ বা, $\frac12=\frac{AB}{16}$ বা, $AB=8$

   $\therefore$ মিনারটির উচ্চতা $\mathbf{8}$ মি.।

   (এ ক্ষেত্রে ভূমিতে মিনারের পাদদেশ থেকে বিন্দুর দূরত্ব $BC=16\cos30^\circ=8\sqrt3$ মি.।)

3. গ)

   প্রশ্নের "$8\sqrt3$" মানটি ঐ বিন্দু থেকে মিনারের পাদদেশের অনুভূমিক দূরত্ব ($BC=8\sqrt3$ মি., ক-নং অংশের ফল), যা মিনারের উচ্চতা $AB=8$ মি. এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

   বিন্দু $C$ থেকে $5.86$ মি. এগিয়ে $D$ বিন্দুতে এলে, $BD=8\sqrt3-5.86=13.86-5.86=8$ মি. (প্রায়) [$8\sqrt3\approx13.856$]।

   মনে করি, $\angle ADB=\theta$। সমকোণী $\triangle ABD$-এ $\tan\theta=\frac{AB}{BD}=\frac88=1=\tan45^\circ$

   $\therefore\theta=\mathbf{45^\circ}$

   অর্থাৎ নির্ণেয় উন্নতি কোণ $45^\circ$।