∫1exln⁡xdx=\int_{1}^{\sqrt{e}} x \ln x dx = কত?

Question

Accepted Answer

ঘ. 14\frac{1}{4}

ব্যাখ্যা: যোগজীকরণ বাই-পার্টস (Integration by parts) পদ্ধতি ব্যবহার করে পাই:
$\int u v \, dx = u \int v \, dx - \int \left( \frac{du}{dx} \int v \, dx \right) dx$

এখানে $u = \ln x$ এবং $v = x$ বিবেচনা করলে:
$\int x \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} \, dx$
$= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx$
$= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}$

এখন নির্দিষ্ট যোগজের সীমা $1$ থেকে $\sqrt{e}$ বসিয়ে পাই:
$\left[ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{\sqrt{e}}$
$= \left( \frac{(\sqrt{e})^2}{2} \ln(\sqrt{e}) - \frac{(\sqrt{e})^2}{4} \right) - \left( \frac{1^2}{2} \ln(1) - \frac{1^2}{4} \right)$
$= \left( \frac{e}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{e}{4} \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right)$
$= \left( \frac{e}{4} - \frac{e}{4} \right) + \frac{1}{4}$
$= 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

অতএব, সঠিক মান $\frac{1}{4}$।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন